Un sacco di parallelepipedi

[FreddyKruger]

Quanti sono i parallelepipedi aventi volume $10^10 cm^3$ e spigoli la cui misura espressa in cm è intera? (due parallelepipedi vanno considerati uguali se, a meno dell’ordine, le misure dei loro spigoli coincidono).

[Quinzio]

Dunque in fattori primi $10=5*2$, quindi $10^(10)=2*2...*2*5*5*....5$ dove il 2 e il 5 sono ripetuti 10 volte.

Ora si tratta di ripartire questi 10 "2" e 10 "5" in 3 "spigoli" diversi.

Es.
2|2|222222225555555555
è un esempio di ripartizione
2|22|22222225555555555
è un' altro.
Ciò darebbe origine a (19*18)/(2)=171 combinazioni.
Ma
2|22|22222225555555555
e
22|2|22222225555555555
sono lo stesso parallelepipedo.
Quindi si parte
2|2|222222225555555555
e la seconda sbarretta si muove a dx (18 combinazioni)
poi si passa a
22|22|2222225555555555
e la sbarretta si muove a dx (16 combinazioni)
Quindi in tutto dovrebbero essere 2*(9+8+7+...+1)=2*45=90

Giusto ? Mah... speriamo

[FreddyKruger]

No,purtroppo il numero è molto più alto...penso che l'errore in questo ragionamento è nel fatto che non consideri parallelepipedi del tipo 25|25|2222222255555555 , o ho capito male io?

[marco99991]

Infatti si dovrebbero distribuire i "10" $2$ tra i tre spigoli e la stessa cosa si deve fare con i $5$.
Considerando le ripetizioni, dividere 10 elementi in tre insiemi è equivalente a determinare i sottoinsiemi di 2 elementi in un insieme di 12 (principio dei cassetti se non erro, ovviamente 1 o 2 insiemi possono essere vuoti), che sono $66$. Stesso con i $5$, ottendo come risultato $66^2=4356$. Adesso devo pensare a come togliere le ripetizioni, ma in ogni caso il risultato finale al netto di esse è dell'ordine delle migliaia.

[kobeilprofeta]

Prima pensiamo all'ordine dei divisori senza considerare quanti sono nel primo lato, quanti nel secondo e quanti nel terzo. Allora dovrebbero essere 20!/10!/10! possibili combinazioni perchè i 10 cinque si possono invertire tra di loro e anche i 10 due. Quindi= 184756 combinazioni. Poi bisogna vedere come suddividerle in lati, ad esempio la combinazione 22552255225522552255 puó diventare 2|255225522|5522552255 oppure 22552|25522552255225|5 oppure ancora 225522|552255|22552255... la prima "linea" puó essere dopo la cifra numero 1,2,...,18 la seconda dipende dalla prima, quindi chiamando la prima P, la seconda S.
Con P=1 ci sono 18 possibili posizioni di S (da 2 a 19)
Con P=2 17
con P=3 16
...
con P=18 1
Quindi le possibili combinazioni P-S sono 1+2+3+...+18= (18^2+18)/2= 171


Ne risultano 171*184756= 31.593.276 combinazioni
Dalle quali vanno però escluse quelle che si ripetono...spero di averti aiutato ma ora mi serve una mano per escludere quelle che si ripetono...

[superpippone]

Io ho fatto un calcolo quasi manuale.
Le possibilità sono 3.996.
Adesso devo trovare il sistema per togliere quelle che si ripetono.
Una domanda a Freddy: ma tu la risposta esatta la sai?

[FreddyKruger]

Io la risposta ce l'ho,ma non ho il procedimento,però preferisco sempre aspettare prima di mettere la risposta nascosta .
In ogni caso nemmeno io ho trovato un metodo carino per escludere le combinazioni ripetute .
L'unico aiutino per ora è che la soluzione è di 3 cifre

[superpippone]

Ci sono arrivato anch'io che la soluzione è a 3 cifre.
Con un procedimento semi-logico ero arrivato a 744.
Ma devo toglierne ancora qualcuna incompatibile.
Non so perchè, ma mi stuzzica il numero del diavolo...

[FreddyKruger]

Ehm...a quanto eri arrivato con un procedimento semi-logico?

[milizia96]

Allora, abbiamo capito che esistono 4356 modi di decidere gli spigoli (vedi post di marco9999) solo che dobbiamo togliere quelle configurazioni che generano, in pratica, lo stesso parallelepipedo (stesse misure ma in ordine diverso).
Lascio un suggerimento per "togliere" queste configurazioni:

Possiamo dividere tre casi:
1) parallelepipedi con tre spigoli uguali (cioè dei cubi);
2) due spigoli uguali e uno no;
3) tre spigoli diversi.
Se riuscissimo a "spartire" tutte le 4356 combinazioni tra queste tre categorie, allora sarebbe facile tagliare via quelle di troppo, perché per ognuna delle tre categorie è facile calcolare quante volte lo stesso parallelepipedo viene ripetuto.

magari ci eravate già arrivati ma spero di essere stato d'aiuto

[Rigel1]

Non è che, per caso, si vogliono anche tutti i lati di lunghezza diversa?

Iniziamo a contare in quanti modi possiamo scegliere 3 interi \(k,l,m\) aventi somma \(10\) e soddisfacenti con \(0\leq k\leq l\leq m\leq 10\). Abbiamo le seguenti possibilità:
\begin{align*}
& 0, \quad \{0, \ldots, 5\}, \quad 6, \quad 4\\
& 1, \quad \{1, \ldots, 4\}, \quad 4, \quad 2\\
& 2, \quad \{2, 3, 4\}, \quad 3, \quad 1\\
& 3, \quad 3, \quad 1, \quad 1
\end{align*}
dove, per ogni riga, il primo numero indica $k$, il secondo indica le possibili scelte di $l$, il terzo il nr. totale di scelte, il quarto il nr. di scelte che danno i tre numeri $k,l,m$ tutti distinti.
Indichiamo con \(S\) l'insieme delle 8 triplette \(k,l,m\) composte da numeri ordinati e tutti distinti, e con \(D\) l'insieme delle 6 triplette contenenti un doppione. Indichiamo inoltre con \(S'\) e \(D'\) le possibili permutazioni di triplette di \(S\) e di \(D\); \(S'\) conterrà \(8\cdot 3! = 48\) triplette, mentre \(D'\) ne conterrà \(6 \cdot 3 = 18\)
I lati del nostro parallelepipedo saranno del tipo \(2^{k_1} 5 ^{k_2}\), \(2^{l_1} 5 ^{l_2}\), \(2^{m_1} 5 ^{m_2}\).
I possibili parallelepipedi si ottengono scegliendo \(t_1\in S\cup D\) e \(t_2\in S'\cup D'\); sono in totale \(14\cdot 66 = 924\).

Se invece vogliamo che i lati siano tutti distinti procediamo in questo modo.
(a) Se \(t_1\in S\), possiamo scegliere \(t_2 \in S'\cup D'\), vale a dire in \(66\) modi diversi.
(b) Se \(t_1\in D\), possiamo scegliere \(t_2\in S'\) senza limitazioni, oppure \(t_2\in D'\) con l'esclusione della permutazione che ha il doppione coincidente con quello di \(t_1\): in totale sono \(8\cdot 66 + 6\cdot 36 = 744\).

[marco99991]

Col suggerimento di Francesco ci sono arrivato anch'io che la soluzione è $744$. Piuttosto mi chiedevo se ci si potesse arrivare calcolando il numero di parallelepipedi di volume $10^k$ al variare di $k$ partendo da $k=1$. Mi sono fermato a $k=5$, ma non sono riuscito a individuare la logica (i primi numeri dovrebbero essere $2,8,19,42,78$). Se fosse un esercizio da Giochi, farei così.

[superpippone]

Ciao.
Non sono convinto che il risultato sia 744.
In questa cifra sono compresi anche delle dimensioni con valore zero, ovvero sono delle figure piane (o addirittura segmenti) e non dei solidi.
Per questo avevo scritto che bisognava togliere quelle incompatibili.

[superpippone]

Li ho praticamente contati.
Sono 683.

[marco99991]

Probabilmente gli spigoli che tu dici aver dimensione $0$ in realtà hanno dimensione $1$. Se tu ad uno spigolo non assegni né un $2$ né un $5$ allora avrà dimensione $1$, che è compatibile con le richieste del problema. Ti posso assicurare che sono $744$, contati e ricontati, e tra l'altro c'è la conferma di altri utenti.
Tra l'altro le figure piane hanno 'volume' $0$, ma queste non vengono nemmeno considerate visto che trattiamo poliedri di volume $10^10$. Non so come tu possa escludere qualcosa che non c'è. Non so se mi sono spiegato.

[superpippone]

Marco, hai perfettamente ragione.
Non avevo considerato la possibilità dell'esistenza del valore 1.
Sono proprio un allocco.
E pensare che ero stato il primo a dare la risposta esatta.....
Ciao.

[marco99991]

Quando ho scritto che altri utenti avevano dato la risposta esatta, non avevo notato che ci fossi anche tu... Bravo per averla intuita!
Comunque, per essere pignoli, tra le figure piane da togliere ci sarebbe dovuta essere anche quella con due lati uguali a $0$, ossia il segmento di lunghezza $10^10$, il che avrebbe portato alla soluzione, comunque sbagliata, $682$.
Ciao!

[superpippone]

Ho rifatto la tabella.
Però adesso, utilizzando anche dimensioni di valore 1, me ne vengono molte di più di 744...
Verificherò.