Un reticolo

[nino_12]

Copiato dal forum coelestis

Abbiamo un foglio a quadretti.
400 punti, ai vertici dei quadratini, sono colorati in rosso o in blu, secondo una formazione quadrata di 20 righe per 20 colonne.
Se due punti adiacenti verticalmente o orizzontalmente sono dello stesso colore, allora sono uniti da un segmento del loro stesso colore (o rosso o blu).
Se due punti adiacenti verticalmente o orizzontalmente sono di colore diverso, allora sono uniti da un segmento nero.

Ci sono 209 punti rossi, 39 dei quali sono sul bordo del reticolo, ma nessuno negli angoli.
Ci sono anche 237 segmenti neri.

Quanti sono i segmenti blu?

[axpgn]

$243$ ?

[orsoulx]

Concordo con la risposta di Alex, persino con il punto interrogativo. Nel senso che se esiste una soluzione non può che esser quella, ma non mi metto certo a tinteggiare 400 punti per vedere se può esistere una colorazione compatibile.
Ciao

[nino_12]

Concordo anch'io anche senza punto interrogativo.

Ciao

[orsoulx]

"nino_":anche senza punto interrogativo.

Io riesco a dimostrare compiutamente solo la necessità, ma non la sufficienza.
Sei in grado di risolvere questa versione moooolto semplificata senza ricorrere al disegno o osservazioni puntuali ad hoc?
Reticolo 4 per 4; 9 punti rossi sette dei quali sui bordi ma nessuno negli angoli; 11 segmenti neri.
Ciao

[axpgn]

Cosa intendi con "osservazioni puntuali ad hoc" ?
Vorresti una formula?
Penso che volendo (ma meglio di no ... ) i ragionamenti che ho fatto per il primo reticolo si possano trasformare in una formula ...

La versione semplificata mi porterebbe a $4$ segmenti blu ... ma non ho verificato i conti ...

[orsoulx]

"axpgn":Cosa intendi con "osservazioni puntuali ad hoc"

Ragionamenti sulla possibilità di collegare i punti con il numero di archi calcolato.

In questo semplicissimo caso è facile 'vedere' che i soli 4 punti blu utilizzabili (uno d'angolo, uno vicino sul lato e due interni) non potendo disporsi 'a quadrato' sono insufficienti per i 4 archi blu ricavati,

Ciao e scusami ancora per l'intervento nell'altra discussione

[axpgn]

Ok, ho capito cosa intendi ... si potrebbe definire come la "fattibilità" di una soluzione ...

[ot]No, no, non devi scusarti ... veniva da ridere anche a me, figuriamoci gli altri ... ... il problema è sempre il solito (almeno per quanto mi riguarda): non è sempre facile tradurre i pensieri in parole ... chiare ... avevo iniziato a scrivere pure un esempio ma mi sono accorto che era al contrario ... ... volevo cancellare tutto ma ho tolto solo l'esempio ... [/ot]

[nino_12]

"orsoulx":
Reticolo 4 per 4; 9 punti rossi sette dei quali sui bordi ma nessuno negli angoli; 11 segmenti neri.
Ciao

Mi sa che hai ragione.

Pensavo ci fosse sempre una soluzione unica (numericamente).
Questo quiz l'avevo trovato da qualche parte una quindicina di anni fa.
Si può fare questo ragionamento:

$20 X 20$
Ci sono in tutto $760$ segmenti, di cui $237$ neri e quindi $523$ fra rossi e blu.
Pongo $R$ = numero dei segmenti rossi.
Il numero di volte che un punto rosso è all'estremità di un segmento è $237+2R$ (in quanto ad uno degli estremi dei $237$ segmenti neri c'è un punto rosso.
Lo stesso numero si ha da $39*3$ punti rossi sul bordo del reticolo, in cui confluiscono 3 segmenti $+(209-39)*4$ punti rossi interni, in cui confluiscono 4 segmenti.

Perciò $39*3 + 170*4 = 237 + 2R$

da cui $R = 280$
e i segmenti blu sono $523 - 280 = 243$

Con il tuo esempio verrebbe $7*3 + 2*4 = 11 + 2R$
$R=9$ segmenti rossi e $4$ blu, che però non si possono disporre nel reticolo con $7$ punti rossi sui bordi e $4$ blu sugli angoli.

Ciao
Nino

[orsoulx]

@nino_,
penso che abbiamo percorso tutti la stessa strada.
Son convinto che la soluzione sia fattibile. I valori possibili del numero di segmenti neri che rendono fattibile la soluzione dovrebbe andare da un valore minimo, corrispondente ad una disposizione dei punti che li veda il più possibile raggruppati per colore, ad un valore massimo per una disposizione simile, quanto si può, a quella di una scacchiera.
Trovare questi estremi è cosa più lunga.
Ciao

[axpgn]

Ragionamenti simili i miei, ad occhio la differenza principale consiste nell'aver calcolato direttamente i segmenti blu senza passare dai rossi ...