Un raggio di luce rimbalzante

[Vincent46]

Il laboratorio del professor Alberto Unapietra consiste in una stanza rettangolare di dimensioni $78 \times 49$, con una delle pareti lunghe orientata a nord. Per il suo ultimo esperimento, il professore si piazza esattamente nel vertice a sud-ovest, e spara un raggio di luce a 45 gradi rispetto alle pareti a lui vicine (ovvero seguendo la bisettrice dell'angolo). Le pareti del laboratorio sono perfettamente riflettenti.
In ognuno degli altri tre vertici della stanza è posto un rilevatore di luce. Quale dei tre suonerà per primo?

Io e una mia amica abbiamo trovato tre soluzioni diverse. Chi offre di più?

[axpgn]

Siccome adesso non ho voglia di ragionare (ragionare? ) intanto dai un'occhiata a questo (se vuoi ), così, per sfizio …

Cordialmente, Alex

[Vincent46]

Direi che la soluzione si può applicare anche a quel caso!

[axpgn]

Cioè intendi che quella si può applicare a questo (a me pare di sì) ? Oppure il contrario ?

[Drazen77]

Dopo 125 rimbalzi...

[Vincent46]

"Drazen77":Dopo 125 rimbalzi...

Beh niente da dire, la soluzione è giusta. Però c'è un modo per arrivarci senza fare il disegno!
@axpgn: tutte e due, direi. Alla fine si tratta di problemi molto simili...

[axpgn]

@Vincent46
Ma io non lo so qual è la tua

Come detto di là, dato che il moltiplicatore di $78$ è dispari finirà sull'altro lato (cioè partendo da sx-ovest finirà a dx-est) e siccome il moltiplicatore di $49$ invece è pari finirà sullo stesso lato di partenza (cioè basso-sud).
IMHO

Cordialmente, Alex

[Vincent46]

"axpgn":@Vincent46
Ma io non lo so qual è la tua

Come detto di là, dato che il moltiplicatore di $78$ è dispari finirà sull'altro lato (cioè partendo da sx-ovest finirà a dx-est) e siccome il moltiplicatore di $49$ invece è pari finirà sullo stesso lato di partenza (cioè basso-sud).
IMHO

Cordialmente, Alex

Ok, penso di aver capito (intuitivamente ) cosa intendi! Ci sta, complimenti

Appendice: e se le pareti dimensioni della stanza fossero $r \times s$, con $r, s$ reali positivi, come si caratterizzano le coppie $r, s$ tali che il raggio arrivi sicuramente a finire addosso a uno dei tre rilevatori?

Aggiungo una soluzione ancora più veloce, sebbene meno generale della tua:

Se mettiamo la stanza in un piano cartesiano con l'origine nel vertice a sud-ovest e gli assi orientati coi lati della stanza, si ha che il raggio di luce tocca solo i punti a coordinate intere con entrambe le coordinate della stessa parità. D'altronde è facile dimostrare che il raggio non entra in un loop e non esce da dove è partito, perciò l'unica possibilità è che esca nel punto di coordinate $(78, 0)$!

[axpgn]

"Vincent46":Ok, penso di aver capito (intuitivamente ) cosa intendi!

Lo so, sono stato molto grossolano ma non avevo voglia di riscrivere quanto detto nell'altro thread

Comunque, di là dicevo anche che se una misura è razionale e l'altra irrazionale il raggio continua a girare all'infinito

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

Non ho idea se valga o meno come soluzione ma ha senso per me
L'idea è di non seguire i rimbalzi dentro la stanza ma raddrizzarli tutti in un'unica direzione.



Quindi il raggio raggiungerà un rilevatore/angolo quando un certo numero di rettangoli formerà un quadrato.
Dato che 49 e 78 sono irriducibili, questo avverà con 49x78 rettangoli.
Il raggio, come in figura, attraverserà/rimbalzerà quindi 78 volte sulle pareti nord e sud e 48 volte contro le pareti est ed ovest, per poi finire nell'angolo (quindi non rimbalzerà più) dopo 78+48=126 rimbalzi.
Dato che il primo rimbalzo è a nord, dopo 78 rimbalzi colpirà la parete sud e dopo 48 rimbalzi colpirà la parete ovest, quindi il raggio arriva in direzione sud-ovest rimbalza a sud e andrà verso nord-ovest e infine colpirà il rilevatore.

[Vincent46]

"Bokonon":

Non ho idea se valga o meno come soluzione ma ha senso per me
L'idea è di non seguire i rimbalzi dentro la stanza ma raddrizzarli tutti in un'unica direzione.



Quindi il raggio raggiungerà un rilevatore/angolo quando un certo numero di rettangoli formerà un quadrato.
Dato che 49 e 78 sono irriducibili, questo avverà con 49x78 rettangoli.
Il raggio, come in figura, attraverserà/rimbalzerà quindi 78 volte sulle pareti nord e sud e 48 volte contro le pareti est ed ovest, per poi finire nell'angolo (quindi non rimbalzerà più) dopo 78+48=126 rimbalzi.
Dato che il primo rimbalzo è a nord, dopo 78 rimbalzi colpirà la parete sud e dopo 48 rimbalzi colpirà la parete ovest, quindi il raggio arriva in direzione sud-ovest rimbalza a sud e andrà verso nord-ovest e infine colpirà il rilevatore.

complimenti! Questa penso sia la versione "formalizzata" della soluzione di axpgn, e si può generalizzare a stanze di qualsiasi dimensione. Solo una cosa: la conclusione mi sembra sbagliata (se non sbaglio i rimbalzi nord-sud sono 77, non 78, e in realtà dovrebbe andare a finire a sud-est).

[Bokonon]

"Vincent46":

la conclusione mi sembra sbagliata (se non sbaglio i rimbalzi nord-sud sono 77, non 78, e in realtà dovrebbe andare a finire a sud-est).

Mi sa che hai ragione! L'ultimo "tocco" nell'angolo deve essere contemporaneamente una combinazione di N,S con E e O perchè la "direzione" funziona a coppie. Quindi arriva da nord (perchè 77 è dispari) in direzione ovest (perchè 48 è pari), quindi finisce a sud-est.
Adesso mi guardo le vostre soluzioni.

P.S. Questo mi dice anche che l'ultimo tocco vale "doppio" e non è un rimbalzo, quindi sono 125 rimbalzi e non 126

[axpgn]

@Vincent46

"Vincent46":Questa penso sia la versione "formalizzata" della soluzione di axpgn, …

Quasi, nel senso che quando l'ho pensata (per l'altro thread), ho ipotizzato di togliere una parete (quella "in alto/nord") e prolungare all'infinito le altre due laterali, tracciando linee "virtuali" al posto delle pareti mancanti (alternativamente alto/basso o nord/sud che dir si voglia).
A mio parere, in questo modo è ancor più facile "vedere" che se i rimbalzi totali sulle pareti laterali sono dispari, si "finisce" sul lato opposto a quello di partenza mentre se sono pari si arriva su quello adiacente.
E allo stesso modo per le linee virtuali attraversate.

Cordialmente, Alex

[Alemin1]

Se può essere utile ecco la risoluzione di un problema molto simile, che proponeva un video di TED-Ed qualche tempo fa...
https://www.youtube.com/watch?v=P4-n0IMQSrQ&list=PLJicmE8fK0EiFRt1Hm5a_7SJFaikIFW30&index=36

PS: Il video è in inglese

[Vincent46]

"Alemin":Se può essere utile ecco la risoluzione di un problema molto simile, che proponeva un video di TED-Ed qualche tempo fa...
https://www.youtube.com/watch?v=P4-n0IMQSrQ&list=PLJicmE8fK0EiFRt1Hm5a_7SJFaikIFW30&index=36

PS: Il video è in inglese

È da lì che l'ho preso

[Vincent46]

"axpgn":[quote="Vincent46"]Ok, penso di aver capito (intuitivamente ) cosa intendi!

Lo so, sono stato molto grossolano ma non avevo voglia di riscrivere quanto detto nell'altro thread

Comunque, di là dicevo anche che se una misura è razionale e l'altra irrazionale il raggio continua a girare all'infinito

Cordialmente, Alex[/quote]

Comunque mi è venuto in mente che la caratterizzazione è più precisa... Ovvero che (credo) il raggio arriva da qualche parte se e solo se il rapporto delle misure è razionale. Quando ho letto il tuo spoiler il mio cervello ha processato che le due cose sono equivalenti ma ovviamente non è così

[axpgn]

@Vincent46

A dir la verità intendevo dire proprio quello (infatti ci avevo pure pensato sopra, tipo: se una misura è $sqrt(2)$ e l'altra è $2sqrt(2)$, funziona comunque ) ma non volevo complicare le cose
Peraltro andrebbe precisato ulteriormente (come avevo detto di là) che non sono le misure della stanza a dover essere in rapporto razionale ma $tan alpha$ deve essere razionale o meglio ancora il prodotto della tangente per la misura della base (per esempio con quelle misure ma con un angolo di $60°$ il raggio gira all'infinito … S.E.&O. )

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

Io la formalizzarei così. Indichiamo con $a$ la lunghezza della parete N/S e $b$ quella E/O.
Fissato un angolo $alpha$, affinchè converga deve essere possibile costruire un rettangolo tale $tan(alpha)=(mb)/(na)$
m ed n sono interi, quindi dipende solo da a e b. Se sono anch'essi interi, allora esisteranno degli $alpha$ che non covergeranno mai.

[Bokonon]

Non avevo letto il post di Alex...ciò che ho scritto è sostanzialmente la stessa cosa