Un problema di vecchia data

[al_berto]

Buongiorno.

Trovare le misure dei lati di due rettangoli con la stessa misura di perimetro e la misura dell'area una otto volte l'altra.

[Gi81]

Penso che ci siano infinite soluzioni... ad esempio una è

Primo rettangolo: $x_1=9$, $y_1=64$
Secondo rettangolo: $x_2=1$, $y_2=72$

[al_berto]

OK
E se le misure dei lati fossero diverse da 1 ?
E se la misura di un'area fosse 99 volte l'altra ?
E se il rapporto tra le misure delle aree fosse $n$ ?

[Gatto891]

Supponiamo il rapporto tra le aree sia $n\geq 1$.

Siano $a, b > 0$ e $c, d > 0$ le misure dei lati dei due rettangoli. Per ipotesi $a + b = c + d \rarr a = c + d - b$ e $ab = n\cdotcd$.

Sostituendo abbiamo quindi:

$b(c+d-b) = ncd$
$bc +bd-b^2 - ncd = 0$
$c(b -nd) = b^2 -bd$
$c = (b^2 -bd)/(b-nd)$
$c = b(b -d)/(b-nd)$

Scelti $b$ e $d$ in modo tale che $(b -d)/(b-nd)$ sia maggiore di zero (non solo si può chiaramente sempre fare, ma esistono infinite soluzioni ad esempio fissando $d$ e prendendo $b = knd +1$ al variare di $k$ nei naturali positivi) si determinano quante soluzioni distinte si vuole...

[al_berto]

Provo a fare un esempio:
rapporto tra le aree: $ n=8$
lati rettangoli $a,b$ e $c,d$
si deve avere:
$2(a+b)=2(c+d)$
$8ab = cd$
Una soluzione può essere, se i lati sono $>1$ :

$a=7 $ $b=504 $ e $c=63$ $d=448$

Esiste un'antica formula con la quale si possono trovare sempre le misure dei lati di due rettangoli aventi le caratteristiche richieste, conoscendo il rapporto tra le aree.