Un pò di ricorsioni e altro...
Voglio proporre questi quesiti (giusto per controllare le soluzioni che io ho dato):
1) Sia $a_1,a_2,...,a_n$ una permutazione dell'insieme $S_n={1,2,...,n}$.
Un elemento $i$ in $S_n$ è chiamato "punto fisso" di questa permutazione se $a_i=i$.
Un "dearrangiamento" di $S_n$ è una permutazione di $S_n$ che non ha "punti fissi".
Sia $g_n$ il numero di "dearrangiamenti" di $S_n$. Mostrare che:
$g_1=0$, $g_2=1$ e $g_n=(n-1)(g_(n-1)+g_(n-2))$ per $n>2$
2)Sia $I_n=int_0^(pi/2)sin^nxdx$. Trovare una relazione ricorsiva per $I_n$ (questo non mi è riuscito
)
3)Sia $T_1=2$ e $T_(n+1)=T_n^2-T_n+1$, $n>0$, provare che $T_n$ e $T_m$ sono primi tra loro per ogni $n!=m$
1) Sia $a_1,a_2,...,a_n$ una permutazione dell'insieme $S_n={1,2,...,n}$.
Un elemento $i$ in $S_n$ è chiamato "punto fisso" di questa permutazione se $a_i=i$.
Un "dearrangiamento" di $S_n$ è una permutazione di $S_n$ che non ha "punti fissi".
Sia $g_n$ il numero di "dearrangiamenti" di $S_n$. Mostrare che:
$g_1=0$, $g_2=1$ e $g_n=(n-1)(g_(n-1)+g_(n-2))$ per $n>2$
2)Sia $I_n=int_0^(pi/2)sin^nxdx$. Trovare una relazione ricorsiva per $I_n$ (questo non mi è riuscito
)3)Sia $T_1=2$ e $T_(n+1)=T_n^2-T_n+1$, $n>0$, provare che $T_n$ e $T_m$ sono primi tra loro per ogni $n!=m$
Risposte
2) Io ho trovato questa relazione generale:
$int sin^n(a*x)dx = -1/(a*n)*sin^(n-1)(a*x)*cos(a*x)+(n-1)/n*int sin^(n-2)(a*x)dx$
Ciao!
$int sin^n(a*x)dx = -1/(a*n)*sin^(n-1)(a*x)*cos(a*x)+(n-1)/n*int sin^(n-2)(a*x)dx$
Ciao!
3) io ho provato a porre m>n (poi si fa il contrario) e m=n+k con k>0; poi $T_(n+k)=T_(n+k-1)^2-T_(n+k-1)+1$ e $T_(n+k-1)=T_(n+k-2)^2-T_(n+k-2)+1$, poi ho sostituito e viene un multiplo di $T_(n+k-2)$ (e continuando a sostituire resta un multiplo di $T_(n)$ )maggiorato di uno, che quindi sarà sempre primo rispetto a $T_(n+k-2)$, ma non so se è abbastanza rigoroso.
Basta provarlo per induzione! Cioè che $T_(n+k)$ è un multiplo di $T_n$ più uno per $AAk>0$ per $k=1$ è vero e supposto che sia vero per n+k sia vero per n+k+1. Comunque anche io l'ho dimostrato così 
ATTENZIONE: questo filone è di tre anni fa, questa è una riesumazione.
Ho notato che il problema (1) è rimasto irrisolto. Mi sono interessato recentemente di dearrangiamenti e qualcosa ho trovato. Propongo di dimostrare la seguente cosa: $g_n = sum_{k=0}^n (n!)/(k!) (-1)^k$.
Ho notato che il problema (1) è rimasto irrisolto. Mi sono interessato recentemente di dearrangiamenti e qualcosa ho trovato. Propongo di dimostrare la seguente cosa: $g_n = sum_{k=0}^n (n!)/(k!) (-1)^k$.
io in realtà cercavo i "dearrangiamenti" (ma non sapevo si chiamassero così) per rispondere ad una questione di calcolo combinatorio.
segnalo il link della quarta pagina perché c'è un riferimento ad un'altra questione che rappresenterebbe un modo per rispondere in maniera indiretta, ed è citata una risposta di fields sul forum di scienze matematiche, la quale forniva una risposta alla questione posta da me in un altro topic della vecchia Università (ora in Algebra), citato nel secondo link. ora non ho tempo di riprendere la questione, ma mi farebbe piacere se qualcuno vedesse il collegamento e pensasse di approfondire il tema.
https://www.matematicamente.it/forum/le- ... 37-30.html
https://www.matematicamente.it/forum/per ... 37653.html
ciao.
PS: a dire il vero, cercando nei forum, ho ritrovato un altro topic dove forse si capisce di più il collegamento con i dearrangiamenti. lascio il link della terza pagina: https://www.matematicamente.it/forum/aut ... 16-20.html
segnalo il link della quarta pagina perché c'è un riferimento ad un'altra questione che rappresenterebbe un modo per rispondere in maniera indiretta, ed è citata una risposta di fields sul forum di scienze matematiche, la quale forniva una risposta alla questione posta da me in un altro topic della vecchia Università (ora in Algebra), citato nel secondo link. ora non ho tempo di riprendere la questione, ma mi farebbe piacere se qualcuno vedesse il collegamento e pensasse di approfondire il tema.
https://www.matematicamente.it/forum/le- ... 37-30.html
https://www.matematicamente.it/forum/per ... 37653.html
ciao.
PS: a dire il vero, cercando nei forum, ho ritrovato un altro topic dove forse si capisce di più il collegamento con i dearrangiamenti. lascio il link della terza pagina: https://www.matematicamente.it/forum/aut ... 16-20.html
Grazie,
ora so che il problema era già stato affrontato. Non avevo trovato niente a parte questo perché ingenuamente cercavo "dearrangiamenti", che non è un termine molto usato.
ora so che il problema era già stato affrontato. Non avevo trovato niente a parte questo perché ingenuamente cercavo "dearrangiamenti", che non è un termine molto usato.
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