Un esperimento sul gusto del rischio (by Mosteller)

[axpgn]

1) Un urna contiene 10 palline nere e 10 palline bianche, identiche eccetto per il colore.
Scegli un colore, o bianco o nero.
Si estrae una pallina a caso e se è del colore che hai scelto vinci 10 euro, altrimenti niente.
Dite quanto sareste disposti a pagare per giocare.
Si gioca una volta sola.

2) Un tuo amico ha a disposizione moltissime palline nere e moltissime palline bianche.
In un urna, ne mette a suo piacimento (anche di un colore solo).
Scegli un colore, o bianco o nero.
Si estrae una pallina a caso e se è del colore che hai scelto vinci 10 euro, altrimenti niente.
Dite quanto sareste disposti a pagare per giocare.
Si gioca una volta sola.

Pensate siano equivalenti?


Cordialmente, Alex

[gabriella127]

Direi che sono equivalenti.

Nel primo caso la probabilità di indovinare è $1/2$.

Affermo, a mio rischio e pericolo , che anche nel secondo caso la probabilità di indovinare è $1/2$.

Supponiamo che l'amico metta nell'urna un numero $n$ di palline, non so di quale colore. Supponiamo che io scelga il bianco.

Allora sono possibili $n+1$ casi di composizione di palline nell'urna.

Cioè: $0$ palline bianche su $n$, $1$ pallina bianca su $n$, $2$ palline bianche su $n$, ...$n-1$ palline bianche su $n$, $n$ palline bianche su $n$.
Ognuna di queste possibili composizioni ha quindi probabilità di realizzarsi pari a $1/(n+1)$.

La probabilità che io indovini che la pallina estratta sia bianca è data dalla probabilità della singola combinazione di realizzarsi per la probabilità che io indovini la pallina bianca in quella combinazione, ossia:

$1/(n+1)* 0/n + 1/(n+1)*1/n+ 1/(n+1)*2/n+...+1/(n+1)*(n-1)/n+1/(n+1)*n/n=
= 1/(n+1)[ sum_(i = 0,\ldots,n) (i/n)]=$

$=1/(n+1)*1/n[ sum_(i = 0,\ldots,n) i]=$
$=1/(n+1)*1/n*(n(n+1))/2=1/2$

Ed è venuto $1/2$ come per incanto .

[mgrau]

Nel caso 2, supponiamo di calcolare la probabilità di estrarre una pallina bianca, nel modo che più ci aggrada.
Allora, se nel nostro ragionamento scambiamo le parole "bianco" e "nero". Il calcolo continuerà a valere, se valeva prima, quindi le due probabilità sono uguali, e, dato che la loro somma è 1, valgono 1/2.
Detto in poche parole: c'è simmetria fra bianco e nero, come nel caso 1.

Ora mi viene in mente che volendo una differenza c'è, che ricorda la situazione della roulette, ossia l'amico potrebbe mettere zero palline nell'urna, nel qual caso perdiamo senz'altro (anche se questo richiede una certa interpretazione delle regole).

[gio73]

1 euro

[axpgn]

Ecco il commento di Mosteller:

No one can say what amount is appropriate for you to pay for either game.
...
What we can say is that you should be willing to pay at least as much to play the second game as the first.
You can always choose your own color at random by the toss of a coin and thus assure that you have fifty-fifty chance of being right.
Furthermore, if you have any information about your friend's preferences, you can take advantage of that to improve your chances.
...
Most people feel that they would rather play the first game becuase the conditions of the second seem more vague.

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

Be', è normale che non si possa dire quanto uno vuole scommettere, dipende dalla propensione al rischio e dai gusti di ciascuno.
(Ci sta una letteratura sui risk averters e i plungers (coloro che si tuffano a capofitto e amano il rischio). Perciò io non l'ho detto, e credo anche mgrau.)
L'unica cosa che si può dire è quanto scommettere per rendere la scommessa equa, cioè che la speranza matematica della vincita sia $0$.
E qui conta il fatto che in entrambi i giochi la probabilità di bianco (o nero) sia $1/2$, e quindi non vi è differenza tra i due giochi dal punto di vista probalistico.

[axpgn]

Però il secondo potrebbe essere più vantaggioso anzi che no quindi non sono proprio proprio equivalenti ...

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

E perché mai il secondo dovrebbe essere più vantaggioso se le probabilità sono equivalenti? 50% di indovinare in entrambi i casi.
E' un gioco piuttosto dal lato psicologico, a seconda della percezione soggettiva, caso mai, senza avere fatto calcoli.

[axpgn]

Teoricamente sì, sono certamente equivalenti ma in pratica nel secondo può accadere di avere delle chance in più.
L'aspetto psicologico, parlando di giochi, soprattutto d'azzardo, è importante.

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

E perché chance in più? Cioè, se sono giocatori ignari della questione probabilistica, conn credenze sbagliate in questo senso?

[axpgn]

No, ma perché come dice l'autore, mentre nel primo caso la distribuzione tra bianche e nere è fissata a priori, nel secondo caso la distribuzione è a piacere del tuo amico quindi la conoscenza delle preferenze e dei comportamenti di quest'ultimo comporta un (possibile) vantaggio.

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

Be', può darsi, se sai qualcosa di rilevante, che ama mettere nelle urne palline nere, o non gli piace toccare palline bianche, ad esempio, sì...

[axpgn]

Esatto.
È una differenza minima (molto molto piccola) ma che rende preferibile giocare il 2 invece che l'1

Cordialmente, Alex