Un equazione nei naturali-2

[blackdie]

Trovare tutte le triplette $(a,b,c)$ che soddisfino la seguente equazione in $NN$




[size=150]$(a-b)^c=ab$
[/size]




Ciao!

[Giusepperoma2]

se non ho fatto errori... dovrebbero essere tutte e sole le triplette del tipo (0,0,c)

[blackdie]

controesempio:$(4-2)^3=4x2$:-D

[ottusangolo]

Ciao!
Scusa, controesempio di che ?

Che (0,0,c) soddifa l'equazione mi sembra evidente

Che sia l'unico tipo di tripletta in N sarei lieto se Giuseppe ce lo facesse vedere.

[blackdie]

tutte e sole le triplette del tipo (0,0,c)

Non metto in dubbio il fatto che le triplette $(0,0,c)$ soddisfino l'equazione,io ho solo detto che con l'esempio non sono tutte e sole!

[ottusangolo]

Giusto, che stupido! Scusa.
E a questo punto credo che Giuseppe non possa dimostrarcelo! Ma come li inventi questi esercizi?

[blackdie]

ah...certe volte me lo sogno...ma il piu li trovo su libri e più internet....

[Giusepperoma2]

"giusepperoma": se non ho fatto errori...

"blackdie":controesempio:$(4-2)^3=4x2$:-D

... evidentemente l'avevo fatto

[Nidhogg]

"blackdie":Trovare tutte le triplette $(a,b,c)$ che soddisfino la seguente equazione in $NN$

[size=150]$(a-b)^c=ab$
[/size]

Ciao!

Ho trovato che le triplette devono essere nella forma $(a,b,ln(ab)/(ln(a-b)))$ quindi quando $ab=root{n}(a-b)$

[blackdie]

ma quando la frazione $ln(ab)/(ln(a-b)$ è intera?

[Nidhogg]

"blackdie":ma quando la frazione $ln(ab)/(ln(a-b)$ è intera?

Ovviamente si! Comunque basta che $ab=root{n}(a-b)$.

[blackdie]

non riesco a capire la tua soluzione:correggimi se sbaglio,prendiamo due numeri qualsiasi naturali $a,b$ , $c$ sara sempre naturale perchè $ln(ab)/ln(a-b)$ è intero?.Mi sfugge qualcosa....

[Nidhogg]

"blackdie":non riesco a capire la tua soluzione:correggimi se sbaglio,prendiamo due numeri qualsiasi naturali $a,b$ , $c$ sara sempre naturale perchè $ln(ab)/ln(a-b)$ è intero?.Mi sfugge qualcosa....

Ma perchè non leggi attentamente il testo! $c=ln(a*b)/(ln(a-b))$

[blackdie]

ho capito che $c=ln(ab)/ln(a-b)$ ma quello che chiedo è la frazione non è sempre intera, come determinare a e b in modo tale che $ln(ab)/ln(a-b)$ sia intera:esempio poniamo a=7 b=5 abbiamo $ln(35)/ln(2)$ che è $5.129283016$.Spero di essermi spiegato...

[Nidhogg]

Quando la frazione $ln(ab)/(ln(a-b)$ è intera?

Quando $ab=root{n}(a-b)$.

[blackdie]

e come faccio a trova a e b tali che $ab=root(n)(a-b)?
in fondo hai spostato il problema da un equazione a un altra.Per esempio io sono riuscito a trovare che le alcune triplette per ogni k naturale che soddisfano l'equazione sono della forma $((k^2)(k+1),k(k+1)^2,3)$ ma non per gli altri casi di c.

[Pachito1]

"leonardo":Ho trovato che le triplette devono essere nella forma $(a,b,ln(ab)/(ln(a-b)))$ quindi quando $ab=root{n}(a-b)$

Credo ci sia un errore:
$(a,b,ln(ab)/(ln(a-b)))$ è intero quando $ab=(a-b)^n$
che è esattamente il quesito di partenza.
Fino ad ora sono riuscito solo a dimostrare che c deve essere maggiore o uguale a 3...

[carlo232]

"Pachito":[quote="leonardo"]Ho trovato che le triplette devono essere nella forma $(a,b,ln(ab)/(ln(a-b)))$ quindi quando $ab=root{n}(a-b)$

Credo ci sia un errore:
$(a,b,ln(ab)/(ln(a-b)))$ è intero quando $ab=(a-b)^n$
che è esattamente il quesito di partenza.
Fino ad ora sono riuscito solo a dimostrare che c deve essere maggiore o uguale a 3... [/quote]

Io ho dimostrato che se $a,b,c$ è una soluzione allora $b$ non è liberoda quadrati.

Per assurdo, $b$ è libero da quadrati. Per cui dato che $b$ divide $(a-b)^c$ segue che $b$ divide $a-b$ per cui $b$ divide $a$. Diciamo allora $a=bk$ e l'equazione diventa

$(k-1)^cb^c=b^2k$

dividendo per $b^2$

$(k-1)^cb^(c-2)=k$

Pachito ha già dimostrato che $c>=3$ quindi $(k-1)^cb^(c-2)$ è un numero intero. Abbiamo la disequazione

$(k-1)^c>k$ per $k>2$

per cui

$(k-1)^cb^(c-2)>k$ per $k>2$

quindi $k=1$ e $(b-b)^c=b^2$ impossibile per $b>0$ oppure

$k=2$ e $(2b-b)^c=2b^2$ impossibile


Ciao! Spero sia giusto!

[Sk_Anonymous]

Qui!

[blackdie]

ho fatto giusto allora!:-D