Triangolo nel triangolo

[axpgn]

Dato un triangolo equilatero inscritto in un cerchio, a sua volta inscritto in un triangolo equilatero come in figura

se conosciamo l'area del triangolo più piccolo quanto vale l'area di quello più grande?

Cordialmente, Alex

[dan952]

Il quadruplo... Queste son cose che si fanno all'asilo, dai

[axpgn]

Dimostralo ...

[dan952]

Capovolgiamo il triangolo più piccolo

[axpgn]

Vorresti dire così?

Cordialmente, Alex

[dan952]

[gpm63]

@axpng

Dando per scontato che i due triangoli siano messi in modo da avere i lati paralleli una dimostrazione potrebbe essere questa;
Traccio le altezze relative ai lati del triangolo ABC. Ottengo sei triangoli uguali OFC, OFA, OAD, ODB, OBE e OEC, rettangoli (per costruzione).Traccio FC'. Il triangolo FOC' è equilatero perchè a due lati uguali e l'angolo fra essi compreso di 60°, quindi FC' = OC'. Ma dato che il triangolo FCC' è isoscele (gli angoli alla base sono ambedue di 30°), abbiamo anche FC' = CC'. Ossia FC' è congruente alla metà dell'ipotenusa OC. Anche il triangolo OF'C' è rettangolo, ed avendo l'angolo in O in comune e l'ipotenusa in rapporto 1/2 con l'ipotenusa del triangolo OFC, tutti i suoi lati stanno nello stesso rapporto 1/2 con quelli del triangolo OFC. Di conseguenza le aree staranno nel rapporto 1/4. Stesso ragionamento si ripete per le altre cinque coppie di triangoli rettangoli OFA e OF'A', OAD e OA'D', ODB e OD'B', OBE e OB'E', OEC e OE'C'. E nello stesso rapporto 1/4 stanno le aree dei triangoli ABC e A'B'C' in quanto somme rispettivamente di OFC, OFA, OAD, ODB, OBE e OEC e di OF'C', OF'A', OA'D', OD'B', OB'E' e OE'C'.

Saluti

Melba

[axpgn]

[gpm63]

Più semplice:

Dato che in un triangolo equilatero l'ortocentro divide l'altezza in due parti l'una il doppio dell'altra, abbiamo:
OV'=2OH', OV'=OH e quindi OH' =1/2OH, di conseguenza V'H'=1/2VH ossia l'altezza del triangolo equikatero inscritto è la metà di quella del triangolo equilatero circoscritto e altrettanto si può dire dei lati. Ne deriva che le areee stanno fra loro in rapporto 1/4.

Melba

[axpgn]

Ho la sensazione che si possa risolvere in moltissimi modi ...
Quasi, quasi mi verrebbe da chiedere: invece di trovare una soluzione semplice, chi trova quella più complicata?
Questione di gusti, ovviamente...

Cordialmente, Alex

[teorema55]

Essendomi sforzato di non leggere il pre-scriptum, direi che l'area del grande è il doppio di quella del piccolo. Se ho cannato clamorosamente può essere colpa della figura che, in questa sede, non posso vedere.........

Ciao

Edit postumo:

ovviamente intendevo il quadruplo, svista comprensibile, spero.......................

[teorema55]

Ehi, ho beccato! Al di là del quesito quasi banale, direi che il modo più semplice per dimostrarlo può essere calcolare il rapporto di similitudine tra i triangoli $r=2$, da cui il rapporto tra le aree che è $R=r^2=4$.

Ciao

[kobeilprofeta]

Siano a,b i lati e A,B le aree dei due triangoli.
$A=sqrt (3)/4*a^2=>A^2=3/16*a^4$
$B=sqrt (3)/4*b^2$
$r=frac {a^3}{4A} $, $r=frac {B}{3/2b} $ quindi $frac {B}{A}=frac {a^3*3/2b}{4A^2}=frac {3/2*a^3*b}{4*3/16*a^4}=2*b/a=2*2=4$ perché il lato di quello esterno è il doppio di quello interno.

[teorema55]

E questo procedimento sarebbe semplice?

Ciao da

Marco

[kobeilprofeta]

No, né semplice, né corretto.

[teorema55]

Sul corretto vorrei riflettere...................considerando che l'area di un triangolo è

$A=a*b*senc$, quindi, nella fattispecie, $A=a^2sen(60)$, il che mi riporta al tuo primo enunciato.

Inoltre un semplice sistemino dimostra che il rapporto di similitudine è 2, quindi quello tra le aree è 4.

A dopo.

Marco

[axpgn]

@kobe
C'è un passaggio che non mi torna ...

Dopo $B/A= ... $

@teorema55
Per quanto riguarda la semplicità, è ovvio che il più semplice è il mio (cioè quello di dan95) ...

Comunque, dato che le dimostrazioni sembrano moltissime ( ) adesso l'obiettivo è quello di trovare le più astruse/complicate/divertenti ...

Cordialmente, Alex

[teorema55]

Questo è un compito impossibile, lo sai meglio di me..............dimostrazione:

Non esiste un sistema logico matematico che sia contemporaneamente coerente e completo (Godel, 1931). Ovviamente noi esigeremo la coerenza (non vogliamo trovare nel nostro ragionamento una proposizione che sia contemporaneamente vera e falsa). Ne deriva che il nostro sistema non sarà mai completo, cioè ad ogni formulazione se ne può sempre sostituire un'altra che contenga una proposizione in più. CVD.

Marco

[gpm63]

Apparentemente "semplice"

Traccio l'asse dei due triangoli VE, essa passa per i vertici e per il punto di tangenza della circonferenza con la base del triangolo circoscritto. Traccio i segmenti AB e CD, appartenenti alle bisettrici degli angoli alla base del triangolo circoscritto aventi per estremi i vertici degli angoli alla base dei due triangoli. Essi sono uguali perché i vertici di un triangolo equilatero sono equidistanti dalla circonferenza inscritta. Traccio i segmenti che congiungono i vertici degli angoli alla base del triangolo iscritto con il punto E. Anche questi sono uguali perché il punto E si trova su VE che è l'asse del segmento BC. Il triangolo BCE è isoscele e gli angoli in B e C sono uguali. Dato che BC è parallelo a AD (per costruzione) saranno uguali fra loro gli angoli BCE e CED. Consideriamo ora il triangolo VCE. Esso è rettangolo perché inscritto in una semicirconferenza. L'angolo BCE in quanto complementare a un angolo di 60° gradi misura 30° come l'angolo CDE (perché CD è bisettrice di un angolo di 60°) ed è uguale all'angolo CED, perché alterni e interni. Quindi, avendo gli angoli alla base congruenti, anche il triangolo CED è isoscele e congruente a BCE. Ne deriva che BC=ED e che BC=1/2 AD (poiché E è punto medio di AD e che avendo il triangolo circoscritto il lato pari al doppio di quelle del triangolo inscritto, la sua area sarà pari al quadruplo di quella del triangolo circoscritto.

Saluti
Melba

[axpgn]

Bella e ... sufficientemente "complicata" ...

Cordialmente, Alex

[teorema55]

Ma qui siamo al mercato degli o bej o bej........ .........cosa c'entra con la matematica?