Triangolo equilatero

[axpgn]

Dai vertici di un triangolo equilatero, tracciamo tre segmenti lunghi, rispettivamente, $3$, $4$ e $5$ unità, i quali si incontrano in un punto interno $P$.
Quant'è lungo il lato del triangolo?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Non riesco a trovare un modo simpatico per determinare la lunghezza del lato, dovrebbe essere

$l=6.766432567522307...$

ma il dubbio che mi solletica è: perché in "Giochi matematici" e non in "Scervelliamoci un po'"?
Ciao

[Drazen77]

Sto provando ad applicare il Teorema di Erone, ma il calcolo inizia a farsi lungo...

[axpgn]

@orsoulx
Hai una calcolatrice migliore della mia che ha "solo" tredici cifre decimali … (per la precisione ho usato quella "di serie" sul tablet low-low-cost )

"orsoulx":... perché in "Giochi matematici" e non in "Scervelliamoci un po'"? ...

Lo sapessi!
E c'ho pure pensato … in effetti trovavo che fosse da postare nell'altra sezione però … sarà stato che ne avevo appena postato uno di là, sarà stata l'ora e l'ho messo di qua … fosse l'unica cosa che sbaglio
Tra l'altro, la soluzione che conosco penso sia di quelle che piacciono a te e a giammaria ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

"axpgn":Hai una calcolatrice migliore della mia

Uso abitualmente GeoGebra. In un cassetto ho quella scolastica, acquistata ammaccata nel secondo millennio, batteria mai sostituita, con cui spesso gioco a chi dei due sopravvive.
Il problema è che dispongo della soluzione esatta (bastano 5 cifre) ottenuta usando la geometria analitica , ho trovato una semplice costruzione con riga e compasso, ma non riesco a vederne una dimostrazione sintetica soddisfacente
Ciao.

[axpgn]

Ho provato a chiederlo al tuo amico Wolfram, che esagerando me ne dà $53$ di decimali (più cinque di riserva)

Dato che faccio sempre confusione, chiariscimi una cosa … una soluzione con la geometria analitica significa usare equazioni di rette e curve, sistemi e vincoli aggiuntivi, ok mentre con sintetica si intende una costruzione geometrica che permette di calcolare il risultato in modo "banale" … o no?
Perché se così fosse allora la tua costruzione con riga e compasso dovrebbe essere una soluzione sintetica, isn't it?

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Bella soluzione analitica

Per curiosità però vorrei chiederti …

Le relazioni che ottieni sono frutto solo del sistema delle tre circonferenze o anche di qualche teorema ?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

"axpgn":...dovrebbe essere una soluzione sintetica, isn't it?

Una soluzione sintetica che si appoggia su una dimostrazione ottenuta con la geometria analitica difetta almeno di eleganza.
Ti descrivo la storia.

Con un procedimento numerico analogo a quello letterale di TeM (unica differenza aver posto l'origine nel punto medio del lato orizzontale) avevo trovato il valore $ l=sqrt(25+12sqrt(3)) $. Essendo $ 25+12sqrt(3)=(3+2sqrt(3))^2+2^2 $ potevo costruire $ l $, a partire dal triangolo $ 3, 4, 5 $, in due passaggi con il solo compasso, ma mi mancava la dimostrazione sintetica di questa proprietà. Adesso, invece, l'ho trovata.
Se $ a,b,c $ sono le lunghezze dei tre segmenti ed esiste il triangolo $ t $ di lati $ a, b, c $ (in caso contrario il problema non ha soluzione), costruito su uno qualsiasi dei suoi lati un triangolo equilatero esterno a $ t $, il segmento che congiunge i vertici non in comune misura $ l $.
La dimostrazione, banalissima, mi sfuggiva, perché mi intestardivo a voler utilizzare il fatto che $ 3, 4, 5 $ sono lati di un triangolo rettangolo. Fra l'altro gli angoli formati dai tre segmenti che uniscono il punto $ P $ con i vertici del triangolo equilatero sono quelli del triangolo iniziale aumentati di $ 60° $

"TeM":se esiste un triplice punto d'intersezione interno al triangolo equilatero di vertici i centri delle tre circonferenze:

Potrebbe anche essere esterno, non cambia nulla.
Ciao

[axpgn]

@TeM
Allora ho fato bene a non farli

@orsoulx
Se ho capito bene, la soluzione che conosco sarebbe un "reverse" della tua …

Costruiamo il triangolo equilatero $APF$. Congiungiamo $B$ con $F$.
Tracciamo da $B$ la perpendicolare al prolungamento di $AP$ e chiamiamo l'intersezione $E$.
$P\hat\AC=60°-P\hatAB=B\hatAF$ per cui i triangoli $PAC$ e $FAB$ sono congruenti e quindi $BF=CP=5$.
Il triangolo $BPF$ è rettangolo in $P$ perciò $B\hatPE==180°-60°-90°=30°$.
Ne segue che $BE=2$ ed $EP=2sqrt(3)$.
In conclusione $l=AB=sqrt(2^2+(3+2sqrt(3))^2)=sqrt(25+12sqrt(3))$

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex,

Alla lunga sì. La mia è decisamente 'costruttiva'; le prime tre immagini riportano la costruzione in base alla scelta del lato. Per la dimostrazione basta osservare che:
per la prima, la rotazione di centro D ed ampiezza +60° porta A in C e B in E;
per la seconda, la rotazione di centro F ed ampiezza +60° porta B in A e C in G;
per la terza, la rotazione di centro N ed ampiezza +60° porta C in B ed A in M.
L'ultima figura mostra come bastino quattro archi di circonferenza per costruire il lato del triangolo equilatero cercato partendo dai tre segmenti allineati.

Ciao

[axpgn]

Thank you

[orsoulx]

Riporto[nota]da un altro forum, postata da un frequentatore di queste stanze, dove interviene di rado, ma con notevole precisione.[/nota] una stupenda costruzione che consente di calcolare (dimostrando), sostanzialmente 'senza parole', la lunghezza $ l $ del lato del triangolo equilatero, con i vertici distanti rispettivamente $ a, b, c $ da un punto dato.

La figura di destra mostra come il triangolo di lato $l$ abbia area pari a metà di quella dell'esagono, a sua volta somma (figura a sinistra) di tre triangoli equilateri di lato rispettivamente $ a , b, c$ e di tre copie del triangolo di lati $ a, b, c $, la cui esistenza equivale a quella della soluzione.
Sara quindi $ 2 sqrt 3/4 l^2=sqrt 3/4 (a^2+b^2+c^2)+3 A_{ABC} ->l^2=(a^2+b^2+c^2)/2+2 sqrt 3 A_{ABC}$
Ciao