Triangolo equilatero

axpgn
Dai vertici di un triangolo equilatero, tracciamo tre segmenti lunghi, rispettivamente, $3$, $4$ e $5$ unità, i quali si incontrano in un punto interno $P$.
Quant'è lungo il lato del triangolo?

Cordialmente, Alex

Risposte
orsoulx
Non riesco a trovare un modo simpatico per determinare la lunghezza del lato, dovrebbe essere
ma il dubbio che mi solletica è: perché in "Giochi matematici" e non in "Scervelliamoci un po'"?
Ciao

Drazen77

axpgn
@orsoulx
Hai una calcolatrice migliore della mia che ha "solo" tredici cifre decimali … :-D (per la precisione ho usato quella "di serie" sul tablet low-low-cost :wink: )

"orsoulx":
... perché in "Giochi matematici" e non in "Scervelliamoci un po'"? ...

Lo sapessi! :lol:
E c'ho pure pensato … in effetti trovavo che fosse da postare nell'altra sezione però … sarà stato che ne avevo appena postato uno di là, sarà stata l'ora e l'ho messo di qua … fosse l'unica cosa che sbaglio :-D
Tra l'altro, la soluzione che conosco penso sia di quelle che piacciono a te e a giammaria ... :D

Cordialmente, Alex

orsoulx
"axpgn":
Hai una calcolatrice migliore della mia

Uso abitualmente GeoGebra. In un cassetto ho quella scolastica, acquistata ammaccata nel secondo millennio, batteria mai sostituita, con cui spesso gioco a chi dei due sopravvive.
Il problema è che dispongo della soluzione esatta (bastano 5 cifre) ottenuta usando la geometria analitica :cry: , ho trovato una semplice costruzione con riga e compasso, ma non riesco a vederne una dimostrazione sintetica soddisfacente :(
Ciao.

axpgn
Ho provato a chiederlo al tuo amico Wolfram, che esagerando me ne dà $53$ di decimali (più cinque di riserva) :-D

Dato che faccio sempre confusione, chiariscimi una cosa … una soluzione con la geometria analitica significa usare equazioni di rette e curve, sistemi e vincoli aggiuntivi, ok mentre con sintetica si intende una costruzione geometrica che permette di calcolare il risultato in modo "banale" … o no?
Perché se così fosse allora la tua costruzione con riga e compasso dovrebbe essere una soluzione sintetica, isn't it? :D

Cordialmente, Alex

axpgn
:smt023 Bella soluzione analitica

Per curiosità però vorrei chiederti …



Cordialmente, Alex

orsoulx
"axpgn":
...dovrebbe essere una soluzione sintetica, isn't it? :D

Una soluzione sintetica che si appoggia su una dimostrazione ottenuta con la geometria analitica difetta almeno di eleganza.
Ti descrivo la storia.

"TeM":
se esiste un triplice punto d'intersezione interno al triangolo equilatero di vertici i centri delle tre circonferenze:
Potrebbe anche essere esterno, non cambia nulla.
Ciao

axpgn
@TeM
Allora ho fato bene a non farli :D

@orsoulx
Se ho capito bene, la soluzione che conosco sarebbe un "reverse" della tua …



Cordialmente, Alex

orsoulx
@Alex,
Ciao

axpgn
Thank you :D

orsoulx
Riporto[nota]da un altro forum, postata da un frequentatore di queste stanze, dove interviene di rado, ma con notevole precisione.[/nota] una stupenda costruzione che consente di calcolare (dimostrando), sostanzialmente 'senza parole', la lunghezza $ l $ del lato del triangolo equilatero, con i vertici distanti rispettivamente $ a, b, c $ da un punto dato.

La figura di destra mostra come il triangolo di lato $l$ abbia area pari a metà di quella dell'esagono, a sua volta somma (figura a sinistra) di tre triangoli equilateri di lato rispettivamente $ a , b, c$ e di tre copie del triangolo di lati $ a, b, c $, la cui esistenza equivale a quella della soluzione.
Sara quindi $ 2 sqrt 3/4 l^2=sqrt 3/4 (a^2+b^2+c^2)+3 A_{ABC} ->l^2=(a^2+b^2+c^2)/2+2 sqrt 3 A_{ABC}$
Ciao

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