Triangoli "rovesciati"

[axpgn]

Disponete i numeri da $1$ a $n$ (dove $n$ è un numero triangolare) per formare un triangolo in modo tale che la differenza tra due numeri vicini si trovi giusto sotto di essi.
Nella figura due esempi per $n=3$ (base $2$) e per $n=6$ (base $3$)

Riuscite a "disegnare" quelli per $n=10$ (base $4$) e per $n=15$ (base $5$) ?

Cordialmente, Alex

[Settevoltesette]

a b d f
c e g
h i
l
(a,b,c) (b,d,e) (d,f,g) (c,e,h) (e,g,i) (h,i,l) almeno 3 sono linearmente dipendenti, quindi al ribasso si ha almeno una tripletta 4 volte più grande di un'altra, sempre al ribasso considero la tripletta dove non importa l'ordine (1,2,3) allora si deve avere anche (4,8,12) impossibile!

Con 15 numeri ancora peggio!!!

[axpgn]

Si può, si può ...

[Settevoltesette]

Mmm...

Se considero le 6 triplette (10,8,6) = 2(5,4,3) la tripletta (9,6,3) = 3(3,2,1) la tripletta 2(3,2,1) e la tripletta (7,5,1) in effetti non c'è un assurdo (sono andato ad occhio, senza considerare l'ordine ne tanto meno se siano triplete possibili)


Con 15 ho 10 triplette quindi almeno 7 linearmente indipendenti devo non avere mai una tripletta 6 volte maggiore di un'altra ( al ribasso 6(1,2,3) mi darebbe un assurdo) però uno stesso numero si ripete al massimo 3 volte (per esempio l'elemento "e" nella mia soluzione errata di prima) quindi
(1,2,3) 2(1,2,3) 3(1,2,3) 4(1,2,3) 5(1,2,3) (7,11,13) (14, 4, 9) funziona (con le considerazioni di sopra).

Quindi ho cannato

Per il momento mi fermo qui, perché le strade che vedo per ora sono contose... mi serve un' idea nuova

[Alemin1]

Per 10
8 10 3 9
2 7 6
5 1
4

[axpgn]

Giusto per dire, c'è ne almeno un altro con $n=10$ ... aspettiamo quello con $n=15$ ...

Cordialmente, Alex

[Alemin1]

Giusto per dire, c'è ne almeno un altro con $n=10$ ...

Vale la versione speculare(invertendo l'ordine delle righe) come seconda soluzione o è proprio un altro ordine di numeri?
Ps : è garantito che funziona anche con 15 o dobbiamo verificarlo noi?

[Settevoltesette]

Nella ricerca di una regola ho trovato questo

credo ci siano 2 costruzioni possibili per ogni triangolo...

1 3
2

2 3
1

2 6 5
4 1
3

4 6 1
2 5
3

8 10 3 9
2 7 6
5 1
4

9 10 3 8
1 7 5
6 2
4

per oggi mi fermo qui.

[axpgn]

@Alemin
No, è un altro ordinamento, non intendo la versione riflessa (da destra a sinistra invece che viceversa, questo intendevi con speculare?) ... difatti, noto ora che Settevoltesette l'ha trovata ...

Garantito che esiste per $n=15$ ...

@Settevoltesette
Bene per la seconda versione a $n=10$, aspettiamo quella a $n=15$ ...

Non so quante versioni possano esistere per ogni triangolo ma credo pochissime ...

Cordialmente, Alex

[Settevoltesette]

Ma esiste una soluzione generale elementare del problema o dobbiamo andare a tentativi, perché le combinazioni di numeri già con n = 10 sono tantine...

[axpgn]

Una soluzione generale non esiste (che io sappia) anche perché ...

[axpgn]

Qualcuno ci vuol provare per $n=15$ ?

[orsoulx]

Ci ho lavorato quest'estate, fra i monti, senza riuscire a trovare scorciatoie sufficienti ad 'umanizzare' la caccia alla soluzione con $ n=5 $ e non ho voglia di attaccarlo con un programma.

Per $ n=4 $ e usando un foglio elettronico per calcolare le differenze e controllare se comparivano tutti i numeri [A proposito! Esiste almeno una funzione standard del foglio elettronico che consente di farlo. Quale può essere?] ho concluso che vi sono solo altre due soluzioni non ancora scovate. Metto in spoiler un aiutino.

I tre numeri maggiori devono trovarsi nelle prime due righe e, al più, solo uno di questi (diverso da 10) può stare nella seconda; inoltre, badando solo alla parità dei numeri, si trova che la riga iniziale deve necessariamente essere del tipo: PPDD, PDPD o PPDP.
Le prime due portano alle soluzioni già trovate, la terza alle altre due.
Una curiosa circostanza: fra queste due soluzioni esiste la stessa relazione già riscontrata tra le prime due.

Ciao

[axpgn]

Le altre due sono:

$6-1-10-8$
$5-9-2$
$4-7$
$3$

e

$6-10-1-8$
$4-9-7$
$5-2$
$3$

La funzione di Excel è la "conta.se" ? Ho usato quella …

Cordialmente, Alex

P.S.: per quel che ne so, non ne esistono di più "grandi"; pensi si possa dimostrare?

[orsoulx]

"axpgn":non ne esistono di più "grandi"; pensi si possa dimostrare?

Boh! Non ne ho la minima idea. Però, tanto per giocare, ho provato adesso, per $n=6$, usando la sola parità e, se non ho perso qualche disposizione per strada, ho trovato che la quantità di numeri dispari è sempre pari, mentre dovrebbero essere $ 11 $. Quindi con $ n=6 $ è impossibile. Dubito però fortemente che succeda anche per tutti i restanti $ n $.
Per la funzione del foglio elettronico:

con ContaSe non capisco come si possa fare senza usare tanti casi, connettivi logici o altro. La funzione che ho usato, compare una sola volta ed ha un solo argomento: una lista.

Ciao

[axpgn]

Purtroppo non mi ricordo esattamente il testo che ho letto, il quale affermava di non provarci (perché inutile) con "quello da sei" o con "quelli da sei e oltre" …

Col conta.se è (relativamente) semplice: ho scritto la formula, l'ho copiata, ho modificato solo il valore cercato e ho moltiplicato fra loro i risultati: quando il prodotto è uno, ho vinto
La funzione alla quale ti riferisci e una di quelle "db.qualcosa" ?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex:
per $n=7$ PPPDPPD (ed altre) portano al totale, corretto, di [strike]11[/strike] 14 dispari e [strike]10[/strike] 14 pari, che essendo una condizione necessaria ma non sufficiente, non consente di concludere alcunché.
Per quanto concerne la funzione.

Trattasi di una funzione ordinaria, di cui hai probabilmente parlato con i tuoi studenti. Smentendo il compianto Troisi è cresciuta un po' maleducata: fogli elettronici diversi la implementano in diverso modo, però in tutti si rivela efficace per il controllo che ci serve.

Ciao

Modificato alle 16:30 per correggere i valori dei numeri pari e dispari (quelli inseriti prima erano relativi a $ n=6 $)

[axpgn]

@orsoulx

Forse l'ho trovata: la funzione FREQUENZA ? Non l'ho mai usata … però vedo che funziona per questo caso ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex:

FREQUENZA va bene, ma ancor più di immediata 'lettura' MODA (che altrimenti Troisi non ci azzecca)

Ciao

[axpgn]

Veniva dopo in ordine alfabetico

[orsoulx]

Coccolando GeoGebra sono riuscito a farmi suggerire la soluzione con cinque righe:

la prima riga deve essere \( \begin{matrix} 6 & 14 & 15 & 3 & 13 \end{matrix} \)

Dimostrazione che con sei righe non esiste soluzione:

Considerando solo la parità dei numeri si nota che modificando la parità di un numero della prima riga si produce, a seconda della posizione di questo, il cambiamento di parità di (complessivamente) :
$ 6 $ numeri se è il primo (l'ultimo);
$ 8 $ numeri se è il secondo o il terzo (il penultimo o il terzultimo).
Se la prima riga è composta da soli numeri pari, saranno pari tutti i $ 21$ numeri, quindi qualsiasi cambiamento si apporti ci troveremo sempre con una quantità dispari di numeri pari, mentre in una eventuale soluzione dovrebbero comparirne $ 10 $.

Resta da vedere se esistono soluzioni con più di sei righe.
Ciao