Très jolie
Risolvere in numeri interi la seguente equazione:
[size=117]6·(x+y)²-50·(x+y)+xy = 100[/size].
[size=117]6·(x+y)²-50·(x+y)+xy = 100[/size].
Risposte
Ordinando rispetto ad x (o ad y data la simmetria) si ha:
$6x^2+(13y-50)x+(6y^2-50y-100)=0$
da cui
$x=(50-13y+-5sqrt(y^2-4y+196))/(12)$
Deve essere:
$y^2-4y+196=a^2$ (a=intero) da cui $y=2+-sqrt(a^2-192$
Ancora :
(0) $a^2-192=b^2$ (b=intero)
Pertanto risulta:
(1) $((x=2-((+-13)/(12))b+-5/(12)a),(y=2+-b))$
Ora la (0) si puo' scrivere anche cosi':
$(a-b)(a+b)=192$ e quindi:
(2) $((a+b=m),(a-b=(192)/m))$ dove m e' un divisore (>0 o <0) di 192
E' facile rendersi conto che ,se a e b devono essere interi,m deve risultare pari e <64
Pertanto ,posto m=2k, da (2) ne deriva:
$a=k+48/k,b=k-48/k$ con k divisore (>0 o <0) di 48 e <32
Sostituendo nella (1) ed accoppiando opportunamente i vari segni
ne vengono le seguenti 4 combinazioni:
a) $[x=2-2/3k+(72)/k,y=2+k-48/k]$ , b) $[x=2+2/3k-(72)/k,y=2-k+48/k]$
c) $[x=2-3/2k+(32)/k,y=2+k-48/k]$ , d) $[x=2+3/2k-(32)/k,y=2-k+48/k]$
Come si vede (b) e (d) derivano da (a) e da (c) rispettivamente cambiando k in -k
e questo permette di limitare i valori di k ai positivi e cioe' a :
$k=2,3,4,6,8,12,16,24$
A cui corrispondono le coppie (x,y) di soluzioni possibili:
(15,-20),(-20,15),(-11,24),(24,-11),(4,-6),(-6,4),(10,0),(0,10)
Saranno veramente cosi' poche ?
karl
$6x^2+(13y-50)x+(6y^2-50y-100)=0$
da cui
$x=(50-13y+-5sqrt(y^2-4y+196))/(12)$
Deve essere:
$y^2-4y+196=a^2$ (a=intero) da cui $y=2+-sqrt(a^2-192$
Ancora :
(0) $a^2-192=b^2$ (b=intero)
Pertanto risulta:
(1) $((x=2-((+-13)/(12))b+-5/(12)a),(y=2+-b))$
Ora la (0) si puo' scrivere anche cosi':
$(a-b)(a+b)=192$ e quindi:
(2) $((a+b=m),(a-b=(192)/m))$ dove m e' un divisore (>0 o <0) di 192
E' facile rendersi conto che ,se a e b devono essere interi,m deve risultare pari e <64
Pertanto ,posto m=2k, da (2) ne deriva:
$a=k+48/k,b=k-48/k$ con k divisore (>0 o <0) di 48 e <32
Sostituendo nella (1) ed accoppiando opportunamente i vari segni
ne vengono le seguenti 4 combinazioni:
a) $[x=2-2/3k+(72)/k,y=2+k-48/k]$ , b) $[x=2+2/3k-(72)/k,y=2-k+48/k]$
c) $[x=2-3/2k+(32)/k,y=2+k-48/k]$ , d) $[x=2+3/2k-(32)/k,y=2-k+48/k]$
Come si vede (b) e (d) derivano da (a) e da (c) rispettivamente cambiando k in -k
e questo permette di limitare i valori di k ai positivi e cioe' a :
$k=2,3,4,6,8,12,16,24$
A cui corrispondono le coppie (x,y) di soluzioni possibili:
(15,-20),(-20,15),(-11,24),(24,-11),(4,-6),(-6,4),(10,0),(0,10)
Saranno veramente cosi' poche ?
karl
Ottimo Karl!
E queste soluzioni sono proprio quelle che
ho trovato anch'io
A me è capitato di cercarle così (la sostanza,
comunque, è la stessa).
Se pongo:
x + y = w
x - y = z
posso riscrivere in questo modo l'equazione
data:
6w² - 50w + ¼ (w² - z²) = 100
ossia:
25w² - 200w - z² = 400
in cui devo considerare:
z = 5z'
e quindi:
w² - 8w - z' ² = 16.
Metto in evidenza un secondo quadrato
a sinistra e ottengo:
(w-4)² - z' ² = 32
cioè:
(w-4-z')(w-4+z') = 2·16 = 4·8.
E ora scrivo i sistemi degli otto casi possibili:
w - 4 - z' = ± 2
w - 4 + z' = ± 16
w - 4 - z' = ± 16
w - 4 + z' = ± 2
w - 4 - z' = ± 4
w - 4 + z' = ± 8
w - 4 - z' = ± 8
w - 4 + z' = ± 4
da cui ricavo tutti i valori per la coppia (x,y).
Naturalmente, è sufficiente che io calcoli un
sistema (in entrambi i segni) per ciascuna
delle due scomposizioni e, scambiando poi i
valori delle variabili, alla fine ottengo le restanti
soluzioni.
(Salvo distrazioni...)
E queste soluzioni sono proprio quelle che
ho trovato anch'io
A me è capitato di cercarle così (la sostanza,
comunque, è la stessa).
Se pongo:
x + y = w
x - y = z
posso riscrivere in questo modo l'equazione
data:
6w² - 50w + ¼ (w² - z²) = 100
ossia:
25w² - 200w - z² = 400
in cui devo considerare:
z = 5z'
e quindi:
w² - 8w - z' ² = 16.
Metto in evidenza un secondo quadrato
a sinistra e ottengo:
(w-4)² - z' ² = 32
cioè:
(w-4-z')(w-4+z') = 2·16 = 4·8.
E ora scrivo i sistemi degli otto casi possibili:
w - 4 - z' = ± 2
w - 4 + z' = ± 16
w - 4 - z' = ± 16
w - 4 + z' = ± 2
w - 4 - z' = ± 4
w - 4 + z' = ± 8
w - 4 - z' = ± 8
w - 4 + z' = ± 4
da cui ricavo tutti i valori per la coppia (x,y).
Naturalmente, è sufficiente che io calcoli un
sistema (in entrambi i segni) per ciascuna
delle due scomposizioni e, scambiando poi i
valori delle variabili, alla fine ottengo le restanti
soluzioni.
(Salvo distrazioni...)
Bravissimo Bruno! Questo sì che è usare l'algebra! Tres jolie. 
Grazie, Fields 
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