Tre quiz

[nino_12]

1) Si scelgono due numeri interi a caso, A e B, con A Si scelgono ora, sempre a caso, altri due numeri interi differenti, C e D, compresi fra A e B (inclusi).
La somma C+D è più facile che sia pari o dispari?

2) Abbiamo in un sacchetto 10 monete apparentemente uguali di cui si sa che 9 sono normali (P testa = P croce), mentre una è truccata e possiede 2 teste.
Estraiamo una moneta a caso e la tiriamo 10 volte, ottenendo sempre testa.
Qual è la probabilità che la moneta scelta sia quella truccata?

3) Abbiamo un secchio a forma di tronco di cono capovolto (altezza = h), che, quando è pieno, contiene un volume di acqua = V.
Sapendo che il raggio della base è = r e che il raggio superiore (all'altezza h) è = 2r, calcolare l'altezza (relativa a h) alla quale il contenuto è pari a 0,5V.

[axpgn]

3) Sembra che la nuova altezza sia all'incirca il $65%$ della vecchia; più precisamente sarebbe [size=150]$h'=1/2 (6^(2/3)-2)*h$[/size] od anche [size=150]$h'=(3^(2/3)/2^(1/3)-1)*h$[/size]

Cordialmente, Alex

[axpgn]

1) Sembra che siano più numerose le somme dispari perché dovendo essere diversi i due addendi allora si escludono solo somme pari avvantaggiando quelle dispari ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Per la 2) la butto lì ma senza molta convinzione ...

Per la scelta della moneta abbiamo $10$ possibilità diverse mentre per ogni moneta lanciata dieci volte abbiamo $1024$ serie diverse quindi i casi possibili dovrebbero essere $10*1024$.
Per i casi favorevoli ne abbiamo solo $1$ per ogni moneta buona mentre per quella falsa vanno bene tutti e $1024$ perciò la probabilità che sia falsa dovrebbe essere $(1024)/(1033)$; invece la probabilità che escano tutte teste dovrebbe essere $(1033)/(10*1024)$.

Forse ...

Cordialmente, Alex

[nino_12]

@ axpgn
OK Tutto corretto.

1) Sarebbe ragionevole aspettarsi un risultato uguale per il pari e dispari. Ma la doppia estrazione porta ad un'asimmetria e nel caso di un'intervallo finito al prevalere dei dispari. Non succede mai che si possa pescare un numero con una probabilità superiore al 50% del suo compagno di parità.
Ovviamente, aumentando la vastità dello spazio B-A, diventa sempre minore questa asimmetria.

2) Se F è la moneta truccata e N quella normale, si ha:
$P(F) = 0,1$

$P(N) = 0,9$

$P(10T|F) = 1$

$P(10T|N) = 0,5^10 = 0,000976...$

$P(10T) = (1*0,1 + 0,000976*0,9) = 0,1008789...$

$P(F|10T) = (1*0,1)/(0,1008789) = 0,99128...$

Non sarebbe quindi azzardato scommettere che è stata estratta proprio la moneta truccata.

3) La soluzione potrebbe essere ottenuta ad esempio calcolando il volume del secchio e il volume di un fittizio cono sottostante e mettendo in relazione questo volume con la somma di questo volume più quello di mezzo secchio.