Tre in fila

[axpgn]

Il problema consiste nel "piazzare" $n$ punti in un piano in modo da formare il maggior numero di rette contenenti TRE punti e solamente TRE.
L'autore afferma di non conoscere un formula per determinare il massimo (per ogni $n$) però ne ha una per il minimo e soprattutto conosce un metodo (relativamente) facile per farlo ...
Quale ?

Cordialmente, Alex

[Dante.utopia]

come può una retta contenere solo tre punti, è impossibile.

[axpgn]

Tre di quegli $n$ ...

[kobeilprofeta]

per il minimo

mettere i punti su una circonferenza

[axpgn]

... mmmm ...

come fanno tre punti su una circonferenza ad essere allineati ?

[Dante.utopia]

Beh evidentemente il minimo è zero rette!

[axpgn]

No ...

Il minimo dipende da $n$, ovviamente, e non è sempre zero ...

[Dante.utopia]

Ma se ponendoli in una circonferenza indipendentemente dal numero di punti, non ci sono rette contenenti tre punti. E Non potendoci essere meno di zero rette. Allora zero non può che essere minimo del numero di rette vs punti.

[axpgn]

Non ci capiamo ...

La formula di cui parlo afferma che dato un certo numero di punti $n>=3$, sicuramente li puoi disporre in modo tale da costruire almeno un certo numero $r$ di rette contenente tre di quei punti (e solamente tre).
Poi può capitare che ne puoi costruire anche di più ... ma almeno quelle si possono costruire sicuramente ...
Il numero minimo di rette dipende da quello dei punti ... e non è sempre zero, anzi ...

[Dante.utopia]

Quindi non nel senso che ogni retta deve contenere i tre punti.

[axpgn]

Ricapitolo:

Hai a disposizione un certo numero di punti ($n>=3$) e devi disporli su un piano con questi obiettivi:

- NON sia possibile tracciare una retta passante per quattro o più dei punti da te disposti sul piano

- sia possibile tracciare il massimo numero di rette passanti per ALMENO tre dei punti da te disposti sul piano

Io non conosco un metodo per ottenere il massimo ma ne conosco uno che per QUALSIASI valore di $n$ mi permette di tracciare ALMENO il numero di rette (che rispettano le condizioni date) determinato da una formula che dipende da $n$.

Spero di aver chiarito un po' ...

Cordialmente, Alex

[kobeilprofeta]

ora è un po' piú chiaro

ci penso

[orsoulx]

"axpgn":- NON sia possibile tracciare una retta passante per quattro o più dei punti da te disposti sul piano

- sia possibile tracciare il massimo numero di rette passanti per ALMENO tre dei punti da te disposti sul piano

In modo grezzo potrei dire: traccia tutte le rette che vuoi ma alla fine "tengo valide" solo le rette che passano per tre di quei punti, né uno di meno né uno di più.

Non mi pare che le prime due condizione ed il 'modo grezzo' siano equivalenti.
Visto che ho fatto bene ad astenermi dal partecipare.
Ciao
B.

[axpgn]

Sì, lo so, ho voluto dare un'idea ma sarebbe meglio se mi astenessi ... (tolto l'aggiunta che creava solo confusione ...)

[orsoulx]

Visto che oggi (sarà per San Valentino?) non c'è la solita coda per rispondere, metto un risultato, che credo lontano da quello di Alex

$ [(3n-11)/2 ] $ con $ n>4 $

Ciao
B.

[axpgn]

Sì, il minimo possibile è più alto ...

[orsoulx]

...non ho difficoltà a crederlo, ma cosa pretendi che faccia? Pellegrinaggio a Lourdes, consultare un mago, ricerca in internet?
Ciao
B.

[axpgn]

Era solo un "bump", l'ultimo post era quello ... ...

[axpgn]

Dunque ...

È sempre possibile disporre sul piano una certa quantità $n$ di punti in modo tale da potere tracciare almeno un numero $r$ di rette, che rispettino le condizioni date, pari a $r=\lfloor (n-1)^2/8 \rfloor$

Il metodo per trovarli è il seguente:
Disegniamo una cubica e prendiamo un punto $P$ su di essa; tracciare la tangente alla curva in $P$ che la taglia in $Q$; tracciare la tangente alla curva in $Q$ che la taglia in $A$; il prolungamento di $PA$ taglia la curva in $B$, il prolungamento di $QB$ taglia la curva in $C$, il prolungamento di $PC$ taglia la curva in $D$, il prolungamento di $QD$ taglia la curva in $E$, ...
I punti cercati sono $P, Q, A, B, C, D, E, ...$

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Bella, mooolto bella!

Anche la mia usava la cubica come sostegno, per garantire il non allineamento di 4 punti. La tua regala, però tanti allineamenti extra (oltre a quelli di costruzione), mentre la mia ne offriva pochini: solo quelli dovuti alla simmetria rispetto al flesso (che era un punto della costruzione).
Penserò come si possano dimostrare questi allineamenti omaggio, ma temo ci siano di mezzo proprietà di geometria proiettiva.. ed allora ti chiederò anche la dimostrazione.

Ciao
B.

[orsoulx]

Funziona, e si possono trovare persino soluzioni a coordinate intere.

$ P_i = (x_i,x_i^3); i \in [0,n] $, con $ x_i=(3(2i+1)(-1)^i+1)/4 $.

Ciao
B.