Tre Cerchi

[axpgn]

Nell'immagine ci sono tre cerchi di raggio unitario, due dei quali tangenti esternamente ed il terzo che li interseca nel punto di tangenza $T$ e nei punti $A$ e $B$ rispettivamente.

Quant'è la lunghezza della somma di archi $ADT+BET$?




Cordialmente, Alex

[Quinzio]

$\pi$

[axpgn]

Why?

[Drazen77]

Essendo $T$ punto di tangenza, $X$, $T$ e $Y$ sono allineati.
E lo sono anche $A$, $Z$ e $B$.
Gli archi $ADT$ e $BET$ sono uguali agli archi $AFT$ e $TGB$ (che equivalgono a mezza circonferenza), quindi la loro somma è $(2pir)/2$

[axpgn]

Per quale motivo sarebbero allineati $A, Z, B$ ?

[Drazen77]

"axpgn":

Per quale motivo sarebbero allineati $A, Z, B$ ?

Non lo so, ma immagino che esista un teorema che lo dimostri

[axpgn]

Nessuna dimostrazione finora, rimango in attesa

[Quinzio]

I raggi $XZ$ e $YZ$ dividono i rispettivi archi a meta', per ragioni di simmetria.
Il punto $Z$ giace su una semicirconferenza $XZY$, siccome il punto $T$ e' fisso.
Allora il trinangolo $XYZ$ e' rettangolo in $\hatZ$, quindi $ \hatZ = \pi /2$ e $\hatX+\hatY = \pi/2$.
Siccome $\hatX+\hatY$ sono la meta' della somma della lunghezza degli archi (il raggio e' unitario), ne segue che la somma della lunghezza degli archi e' $\pi$.

[axpgn]