Torta irregolare

[gabriella127]

Vi propongo un gioco leggero domenicale .
Probabilmente è già noto, ma comunque è carino.
E' un dei giochi proposti anni fa da un professore di analisi.

Supponiamo di avere una torta di altezza nulla di forma irregolare qualsiasi, non necessariamente circolare (si sa che non ci sono più i pasticcieri di una volta), tipo quella nella figura sotto in spoiler.
E' possibile ottenere quattro fette uguali con due soli tagli dritti?

Nota 1 Non si chiede soluzione precisa o numerica, solo se è possibile o meno teoricamente, e perché; se sì con quale tecnica, se no sotto quali ipotesi aggiuntive è possibile.
Nota 2 Giustificare la risposta con nozioni di Analisi Superiore e di Istituzioni di Pasticceria Avanzata.
(non è vero, non serve l'analisi superiore )

Astenersi chi lo conosce già e dipendenti di Scaturchio.

[axpgn]

Definire "uguali"

[gabriella127]

Cioè di uguale area, stessa quantità, ovviamente non di uguale forma.

[axpgn]

Se avesse uno spessore, un taglio a mezz'altezza e uno attraverso il baricentro

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

L'altezza della torta è nulla, si parla solo di area.
Comunque penso a quello che hai detto, nel caso avesse spessore.
Anche perché non ho chiaro cosa sia il baricentro della torta, devo ripassare 'baricentro' .

[hydro1]

E' un problema interessante, chissà se esiste una soluzione più elegante.

La torta è un sottoinsieme $T$ misurabile e limitato di $\mathbb R^2$ di misura positiva $\mu(T)$. Supponiamo che sia tutta contenuta nel cerchio unitario, tanto per comodità. Adesso prendiamo un punto del cerchio, ad esempio $N=(0,1)$, e tracciamo una semiretta che parte da $N$ e divide in due parti $A,B$ la torta. Scegliamo un modo di chiamare i due pezzi a seconda di come si situano rispetto alla semiretta. Siccome $T$ è misurabile, la funzione $[0,2\pi)\to \mathbb R$ che associa l'angolo che la semiretta forma con l'asse delle ordinate a $\mu(A)-\mu(B)$, dove $\mu$ è la solita misura di Lebesgue, è continua. D'altro canto è facile vedere che c'è sicuramente un angolo per cui la funzione vale $\mu(T)$ ed uno per cui vale $-\mu(T)$. Quindi per continuità c'è un angolo per cui vale $0$, ovvero esiste una semiretta da $N$ che taglia in due la torta.

Chiaramente la scelta di $N$ è arbitraria: da ogni punto del cerchio parte una semiretta che taglia a metà la torta. Adesso chiamiamo $A,B$ le due parti in cui la semiretta per $N$ taglia la torta, che quindi hanno eguale misura, e $C$, $D$ similmente le due parti di uguale misura della torta formate dalla semiretta per un punto $P$ generico del cerchio. C'è una funzione \(I\to \mathbb R\) che manda il punto $P$ in $\mu(A\cap C)-\mu(A\cap D)$, dove $I$ è il sottointervallo chiuso di $[0,2\pi)$ che ha per un estremo $\pi/2$ e per altro estremo l'angolo $\alpha$ associato alla seconda intersezione $N'$ della semiretta per $N$ con il cerchio. Di nuovo, questa funzione è continua. Ma in $0$, ovvero quando $P=N$, si avrà che $A=C$, e quindi varrà $\mu(A\cap C)$. D'altra parte all'altro estremo dell'intervallo per simmetria chiaramente la semiretta per $N'$ è la stessa che per $N$. Quindi da $N'$ si avrà che $C=B$ e $D=A$, il che prova che la funzione è negativa in $\alpha$. Per continuità quindi esiste un punto in cui vale $0$. Questo significa che esiste un punto $S$ sul cerchio tale che $\mu(A\cap C)=\mu(A\cap D)$. Adesso è semplice vedere che i 4 pezzi hanno eguale misura. Infatti i pezzi sono $A\cap C$, $A\cap D$, $B\cap C$ e $B\cap D$. Chiaramente basta provare che $\mu(B\cap C)=\mu(B\cap D)$. Ma $\mu(B\cap D)=\mu(D)-\mu(A\cap D)=\mu(D)-\mu(A\cap C)=\mu(C)-\mu(A\cap C)=\mu(B\cap C)$.

[gabriella127]

La tua soluzione è interessante, penso giusta, ma devo leggere con calma perché è lunga, e poi ti dico.
Comunque hai di sicuro azzeccato una cosa, che c'entra la continuità.
Io ho una soluzione piuttosto semplice, però voglio sottolineare che non so se esiste LA soluzione, cioè una sola corretta o migliore.
La soluzione che ho io è quella che mi inventai molti anni fa e dissi al professore che aveva proposto il gioco e lui era d'accordo.
Non ho idea quindi se ce ne siano altre e quale soluzione avesse in mente il professore.
A un primo sguardo in effetti mi sembra che il succo delle tua e della mia non siano molto diversi.
Comunque complimenti perché senza un contesto era difficile avere un'idea.

Leggo la tua soluzione più tardi con calma. Grazie.

[gabriella127]

p.s.

Il problema era contenuto in un foglio che si chiamava 'Divagazioni sulla continuità', quindi io partivo avvantaggiata dal sapere che c'entrava la continuità.
Perciò dicevo che senza contesto è più difficile.

[hydro1]

Ah ecco qua: https://brilliant.org/wiki/ham-sandwich-theorem/. L'idea è quella, ma questo è il modo giusto di raccontarla.

[gabriella127]

Ah grazie, non conoscevo, inreressante, di sicuro era questo il riferimento. Il teorema da usare è quello, i valori intermedi .
Solo che qui parla di due torte disgiunte, ma devo leggere la tua dimostrazione, questa parte dei due pezzi disgiunti forse è il secondo step. Intendo dire che prima si tyaglia la torta a metà, sarebbero quelli i due pezzi disgiunti, e poi si applica il teorema che hai riportato.

Domani leggo il tutto, ora non sono in grado.
La mia dimostrazione era sempre basata sui valori intermedi, ma molto più ruspante, usando un piccolo escamotage, poi la posterò.
Scusa la risposta approssimativa, ma ho giorni un po' incasinati, devo leggere il tutto con calma.

[hydro1]

Sì esatto quel teorema è ancora più forte: puoi tagliare due torte a metà con un solo taglio.

[axpgn]

Avevo un poco travisato il testo, ora penso di aver trovato un metodo per farlo ...

Tracciamo una retta esterna alla torta e la avviciniamo mantenendola sempre parallela a sé stessa fino a toccare la torta.
La torta è sempre dalla stesa parte di piano rispetto alla retta.
Continuiamo a spostare la retta in questo modo finché abbiamo "attraversato" tutta la torta.
Adesso la torta rimane tutta nell'altra parte di piano rispetto alla retta.
Ne consegue che nel suo "spostamento", la retta ad un certo punto si è trovata a dividere a metà la torta.
Siccome abbiamo preso una retta qualsiasi, questo fatto vale per qualsiasi direzione si scelga.
Ora, per mia comodità di esposizione, supponiamo di prendere la retta che taglia a metà la torta orizzontalmente; chiamo la parte A sopra la retta e B la parte sottostante la retta.
Sfruttando il fatto dimostrato precedentemente, esiste una retta che taglia a metà la parte A perpendicolarmente al primo taglio così come un'altra retta con le stesse caratteristiche esiste per la parte B.
Generalmente queste due rette non coincideranno (Per inciso: se si potesse sovrapporre le due parti, avremmo finito qui ).
Prendiamo la retta che divide A (supponiamo, per comodità che sia a sinistra).
Ruotandola leggermente (infinitesimalmente? ) in senso antiorario attorno al punto di incidenza con il primo taglio, avremo che la semiparte sinistra di A diminuirà mentre la semiparte destra aumenterà, però spostando questa retta ruotata verso destra ad un certo punto ripristinerò la parità; lo stesso faccio con la retta che divide B, la ruoto leggermente nello stesso senso in modo da renderla di nuovo parallela alla retta che divide A e la sposto verso sinistra (in questo caso) per ripristinare la parità.
Ripetendo questo "giochetto" prima o poi le due rette coincideranno, ottenendo il risultato voluto.
Right?

Usando un metodo analogo, mi pare sia possibile dividere a metà le due forme citate da hydro con un taglio solo.

Cordialmente, Alex

[hydro1]

Sìsì esatto l'idea è sempre quella, nel link che ho postato è solo detta in maniera più elegante (e più generale).

[gabriella127]

Ok, tutte belle soluzioni sostanzialmente equivalenti.
Il succo 'teorico' è la doppia applicazione del teorema dei valori intermedi.
Anche la mia è equivalente solo sfrutta un trucco pratico per semplificare.
La prima parte è identica a quella di axpgn, cambia 'il finale' .
Più tardi la scrivo e la posto.

[gabriella127]

Ecco la mia soluzione, con una illustrazione tratta dal mio manuale di Tortologia Superiore.

Step 1: Prendiamo un coltello e facciamolo scorrere con continuità da sinistra a destra in verticale sulla torta. Per un noto teorema di Tortologia Superiore, il Teorema dei valori intermedi, ci sarà un punto in cui la lama dividerà la torta esattamente a metà. Dividiamo quindi in due metà uguali la torta.

Step 2: ora facciamo scorrere con continuità il coltello in orizzontale, ad esempio dall'alto verso il basso. Per il noto teorema, ci sarà un punto in cui la lama divide esattamente a metà la parte destra della torta. Come dividere a metà anche la parte sinistra? Basta spostare la parte sinistra sotto la lama finché non sarà nel punto in cui la lama la divide a metà.
A questo punto, zac! tagliamo ed è fatta.

p.s. Questa soluzione, in sostanza uguale alle vostre, ma molto semplice, mi piace perché è un esempio di quei bias cognitivi, dei veri e propri pregiudizi inconsci, che sono frequenti nei giochi matematici e non solo.
In questo caso che la torta deve stare ferma al suo posto.
Spesso si risolvono problemi quando, con uno switch mentale, si vede il pregiudizio e si supera, o quando si fa un 'ribaltamento' del modo di vedere.
Non è questo il caso, si risolve lo stesso, ma è un fenomeno che mi è capitato diverse volte.

[hydro1]

Bello!

[gabriella127]

Grazie!
Comunque ti ripeto i complimenti per la tua soluzione, senza l'indicazione che c'era in mezzo la continuità era difficile avere l'idea.