Torta di compleanno

[orsoulx]

Mario, il proprietario della trattoria dove sovente faccio il pieno, si diverte con la matematica e a fine pasto propone un problema; la cui soluzione, se gli piace, comporta forti sconti.
Sabato sera è arrivato con un semidisco di cartone con questo disegno, tipo sangaku:

Spiegandoci:
- per il compleanno di Elio [suo figlio] voglio preparare una torta decorata in maniera matematica. Sull'altra metà del disco ho segnato sulla circonferenza, oltre agli estremi del diametro, dei punti unendoli con corde, che non si tagliano a vicenda, fino a dividere il semicerchio in triangoli e segmenti circolari. Nei primi ho disegnato i cerchi verdi inscritti, nei segmenti circolari ho messo, in blu, i cerchi di massimo raggio. Dove metterò le candeline?
La somma dei raggi dei cerchi misura 21 cm, voi dovreste calcolare con l'approssimazione di 1 mm, la somma dei soli verdi .
Potete misurare quello che volete, tanto questa è una figura di massima: anche il numero dei punti è diverso da quella che ho usato.
Le misure di angoli e/o segmenti che compaiono nella figura dovete chiederle a me. Quando fornirete la risposta esatta pagherete per il conto 10 euro, a testa, per ogni domanda fatta; naturalmente non siete obbligati a giocare. -

Qual è il minimo numero di domande sufficiente per determinare quanto ci chiedeva?

[axpgn]

In prima battuta mi pare di poter dire che il numero di domande sufficiente sia pari al numero di settori circolari (anzi forse una di meno) ... conoscendo questi angoli è possibile determinare tutti gli angoli dei triangoli e da questi tutti i lati in funzione di uno di essi (p.es. il diametro) e quindi, sempre in funzione del diametro, è possibile determinare i raggi dei cerchi, sia verdi che blu; siccome conosciamo il loro totale, possiamo risalire al diametro, tramite un'equazione "mostruosa" e da quello ai valori numerici dei raggi.
Detto questo, sono convinto che esista una soluzione migliore, più corta e più efficiente ...

Cordialmente, Alex

[marmi1]

Se vale, direi una: "Quanto vale la lunghezza di ciascuna corda?"

Ciao,
Marmi

[orsoulx]

@marmi:

Mario, oltre ad essere un ottimo cuoco, è una pasta d'uomo; ma temo che pretenderebbe 10 euro per ciascuna misura comunicata.
Comunque, anche se così non fosse, si può far di meglio.

Per tutti:
iniziare ad esaminare il caso di un solo punto (oltre agli estremi del diametro) potrebbe essere un buon approccio.

Ciao

[marmi1]

Ciao,

Mi sa che per i matematici la cena è gratis.

Ciao,
Marmi

[orsoulx]

@marmi,
deduzione ineccepibile
Bisognerebbe sapere come fanno.
Ciao

[marmi1]

Misurano il diametro e applicano il cosidetto teorema giapponese

[orsoulx]

@marmi,

Complimenti!! Non credevo che il problema sarebbe stato risolto senza grandi aiuti. Anche perché, non conoscendo il "teorema giapponese", ero arrivato a formulare il quesito basandomi su un'altra proprietà che si è è rivelata equivalente.
Grazie mille.

[marmi1]

A Cesare quel che è di Cesare: è un puro caso che io conosca il teorema.

poi ci dici che proprietà hai utilazzato?

Ciao,
Marmi

[orsoulx]

@marmi
Non sminuirti: per utilizzare un teorema occorre averlo assimilato.

La proprietà che ho usato sta al 'teorema giapponese' come la somma degli angoli esterni di un poligono sta alla somma di quelli interni. Quest'estate, per risolvere un problema proposto da RM, ho dimostrato che, per qualsiasi numero di punti su una circonferenza, la somma dei raggi delle circonferenze inscritte nei triangoli e delle frecce dei segmenti circolari è uguale al diametro della circonferenza iniziale. Come conseguenza per il problema di Mario V+2B=R, dove V e B sono le somme dei raggi delle circonferenze Verdi e Blu.

Grazie alla tua soluzione, ho cercato su wiki il TG che, in effetti si dimostra più semplicemente, usando la proprietà dei 'segni' delle distanze dal centro, io avevo utilizzato l'induzione.
Per il triangolo iniziale dice che si dimostra col teorema di Carnot, io avevo usato l'uguaglianza di due triangoli costruiti e non riesco a capire come servirsi del T di Carnot. Sei in grado di aiutarmi?

Ciao

[marmi1]

Ciao,
Il teorema di Carnot, non è quello del coseno, è quello di Lazare Carnot sui triangoli.
Io ho trovato il teorema giapponese non avendo trovato la soluzione al problema di RM.
Non so se sia corretto passare a mail private, volevo chiederti di più riguardo alla dimostrazione che citi.
Ciao,
Marmi

[orsoulx]

Grazie anche di questa ulteriore informazione!
Vista la nutrita partecipazione convengo sull'inutilità di continuare qui la discussione. Ti scrivo un MP.
Ciao