$theta$
Provare che
$sqrt((xi)/pi) sum_(n=-oo)^oo e^(-xi(t+n)^2)=1+2 sum_(n=1)^oo e^(-pi^2 (n^2)/(xi))cos(2pi nt)$.
$sqrt((xi)/pi) sum_(n=-oo)^oo e^(-xi(t+n)^2)=1+2 sum_(n=1)^oo e^(-pi^2 (n^2)/(xi))cos(2pi nt)$.
Risposte
Giusto per essere sicuri, si deve considerare $xi in RR^+$?
"Kroldar":
Giusto per essere sicuri, si deve considerare $xi in RR^+$?
Si, e anzi mi scuso per non averlo specificato.
Consideriamo la funzione definita come somma di una serie
$x(t) = sum_(n=-oo)^(+oo) sqrt((xi)/pi) e^(-xi(t+n)^2)$
Essa è effettivamente una distribuzione temperata (essendo funzione a crescenza lenta) ed è periodica di periodo $tau = 1$.
Posto $x_0(t) = sqrt((xi)/pi) e^(-xi(t)^2)$, risulta dunque
$x(t) = sum_(n=-oo)^(+oo) x_0(t-n)$
dove $x_0(t)$ è il segnale generatore della replica periodica.
Sappiamo inoltre (primo teorema di campionamento) che nello spazio delle distribuzioni temperate esiste uno stretto
legame tra i coefficienti della serie di Fourier di un segnale periodico e la trasformata di Fourier del segnale generatore.
In particolare, detti $c_n$ i coefficienti dello sviluppo esponenziale, risulta
$c_n = 1/tau X_0(2pin/tau)$
La trasformata di Fourier del nostro segnale generatore (tralascio i conti per semplicità) è
$X_0 = ccF[x_0(t)] = ccF[e^(-xi(t)^2)] = e^(-(omega^2)/(4xi))$
e a questo punto è semplice calcolare i coefficienti della serie esponenziale di Fourier
$c_n = e^(-(pi^2 n^2)/(xi))$
Il passaggio dai coefficienti della serie esponenziale ai coefficienti della serie trigonometrica è immediato, essendo
$a_n = c_n + c_(-n)$ e $b_n = j(c_n - c_(-n))$
Risulta dunque
$a_n = 2 e^(-(pi^2 n^2)/(xi))$
$b_n = 0$
in accordo col fatto che $x(t)$ è pari.
Possiamo a questo punto scrivere lo sviluppo in serie trigonometrica di $x(t)$ (ricordando che la componente continua
va divisa per $2$)
$x(t) = 1 + sum_(n=1)^(+oo) 2 e^(-(pi^2 n^2)/(xi)) cos(2pint)$
Senza alcuna considerazione preliminare, l'uguaglianza è da intendersi nel senso dell'energia.
Notiamo tuttavia che $x(t)$ è sommabile su un periodo e derivabile in ogni punto, sicché la convergenza della sua serie
di Fourier vale anche in senso puntuale.
$x(t) = sum_(n=-oo)^(+oo) sqrt((xi)/pi) e^(-xi(t+n)^2)$
Essa è effettivamente una distribuzione temperata (essendo funzione a crescenza lenta) ed è periodica di periodo $tau = 1$.
Posto $x_0(t) = sqrt((xi)/pi) e^(-xi(t)^2)$, risulta dunque
$x(t) = sum_(n=-oo)^(+oo) x_0(t-n)$
dove $x_0(t)$ è il segnale generatore della replica periodica.
Sappiamo inoltre (primo teorema di campionamento) che nello spazio delle distribuzioni temperate esiste uno stretto
legame tra i coefficienti della serie di Fourier di un segnale periodico e la trasformata di Fourier del segnale generatore.
In particolare, detti $c_n$ i coefficienti dello sviluppo esponenziale, risulta
$c_n = 1/tau X_0(2pin/tau)$
La trasformata di Fourier del nostro segnale generatore (tralascio i conti per semplicità) è
$X_0 = ccF[x_0(t)] = ccF[e^(-xi(t)^2)] = e^(-(omega^2)/(4xi))$
e a questo punto è semplice calcolare i coefficienti della serie esponenziale di Fourier
$c_n = e^(-(pi^2 n^2)/(xi))$
Il passaggio dai coefficienti della serie esponenziale ai coefficienti della serie trigonometrica è immediato, essendo
$a_n = c_n + c_(-n)$ e $b_n = j(c_n - c_(-n))$
Risulta dunque
$a_n = 2 e^(-(pi^2 n^2)/(xi))$
$b_n = 0$
in accordo col fatto che $x(t)$ è pari.
Possiamo a questo punto scrivere lo sviluppo in serie trigonometrica di $x(t)$ (ricordando che la componente continua
va divisa per $2$)
$x(t) = 1 + sum_(n=1)^(+oo) 2 e^(-(pi^2 n^2)/(xi)) cos(2pint)$
Senza alcuna considerazione preliminare, l'uguaglianza è da intendersi nel senso dell'energia.
Notiamo tuttavia che $x(t)$ è sommabile su un periodo e derivabile in ogni punto, sicché la convergenza della sua serie
di Fourier vale anche in senso puntuale.
Bene! Solo una cosa:
Qui credo che volessi scrivere $X_0 = ccF[x_0(t)] = ccF[sqrt(xi/pi)e^(-xi(t)^2)]=ldots$, per il resto tutto ok.
Vorrei riportare un metodo per me interessante di calcolare proprio questa trasformata di Fourier.
Sia $m_n=int_(-oo)^(oo) t^n f(t)dt$ l'ennesimo momento della funzione $f$. Allora
$F(omega)=ccF[f(t)]=int_(-oo)^(oo) f(t)e^(-jomega t)dt=int_(-oo)^(oo) f(t)[sum_(n>=0)(-jomega t)^n/(n!)]dt=sum_(n>=0)(-j)^n m_n (omega^n)/(n!)$.
D'altra parte, è noto che
$int_(-oo)^(oo)e^(- xi t^2)dt=sqrt(pi/xi)$.
Derivando $n$ volte rispetto a $xi$,
$int_(-oo)^(oo)t^(2n)e^(- xi t^2)dt=(1cdot3cdot ldots (2n-1))/(2^n)sqrt(pi/(xi^(2n+1)))$,
che sono i momenti pari di $e^(- xi t^2)$ (i dispari si annullano). Dunque
$ccF[e^(- xi t^2)]=sqrt(pi/xi) sum_(n>=0)(1 cdot 3 cdot (2n-1))/((2xi)^n (2n)!) (-j omega)^(2n)= sqrt((pi)/(xi)) e^(-omega^2/(4 xi))$.
"Kroldar":
La trasformata di Fourier del nostro segnale generatore (tralascio i conti per semplicità) è
$X_0 = ccF[x_0(t)] = ccF[e^(-xi(t)^2)] = e^(-(omega^2)/(4xi))$
Qui credo che volessi scrivere $X_0 = ccF[x_0(t)] = ccF[sqrt(xi/pi)e^(-xi(t)^2)]=ldots$, per il resto tutto ok.
Vorrei riportare un metodo per me interessante di calcolare proprio questa trasformata di Fourier.
Sia $m_n=int_(-oo)^(oo) t^n f(t)dt$ l'ennesimo momento della funzione $f$. Allora
$F(omega)=ccF[f(t)]=int_(-oo)^(oo) f(t)e^(-jomega t)dt=int_(-oo)^(oo) f(t)[sum_(n>=0)(-jomega t)^n/(n!)]dt=sum_(n>=0)(-j)^n m_n (omega^n)/(n!)$.
D'altra parte, è noto che
$int_(-oo)^(oo)e^(- xi t^2)dt=sqrt(pi/xi)$.
Derivando $n$ volte rispetto a $xi$,
$int_(-oo)^(oo)t^(2n)e^(- xi t^2)dt=(1cdot3cdot ldots (2n-1))/(2^n)sqrt(pi/(xi^(2n+1)))$,
che sono i momenti pari di $e^(- xi t^2)$ (i dispari si annullano). Dunque
$ccF[e^(- xi t^2)]=sqrt(pi/xi) sum_(n>=0)(1 cdot 3 cdot (2n-1))/((2xi)^n (2n)!) (-j omega)^(2n)= sqrt((pi)/(xi)) e^(-omega^2/(4 xi))$.
"elgiovo":
Qui credo che volessi scrivere $X_0 = ccF[x_0(t)] = ccF[sqrt(xi/pi)e^(-xi(t)^2)]$
Esattamente.
Una curiosità: perché il titolo di questo topic è $theta$?
perché il titolo di questo topic è θ?
Perchè ambo i membri dell'uguaglianza da dimostrare sono espressioni della funzione $theta$ di Jacobi.
Non avete idea di quanto vi invidio.. in senso positivo naturalmente..
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