Teoria dei Numeri (1)

[quattrocchi1]

siano a e b due interi positivi tali che ab+1 divida $a^2+b^2$.

Dimostrare che $(a^2+b^2)/(ab+1)$ è la radice di un intero............

é gradita la dimostrazione....
Grazie

[adaBTTLS1]

scusami, secondo le definizioni che conosco io, $(ab+1) | (a^2+b^2)$ significa che la frazione che hai scritto è equivalente ad un numero intero, cosa più "forte" di quello che chiedi di dimostrare.
in realtà che cosa dovremmo dimostrare? o meglio, qual è l'ipotesi e qual è la tesi? ciao.

[quattrocchi1]

voglio che si dimostri che quel rapporto sia una radice quadrata perfetta!!!!!!!!!!!quindi il risultato un intero

grazie

[adaBTTLS1]

che il risultato sia un intero è garantito dal fatto che $ab+1$ divide $a^2+b^2$, è lapalissiano....
se dividi un numero per un suo sottomultiplo non ottieni sempre un intero?
ciao.

[quattrocchi1]

Let a and b be positive integers such that ab + 1 divides a2 + b2.
Show that $a2 + b2/ ab + 1$ is the square of an integer.

QUESTO è IL TESTO INTEGRALE
quello che dici è vero............ma il risultato deve essere un quadrato perfetto!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

è semplice come quesito!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[Gauss91]

aaah un QUADRATO perfetto! non una "radice quadrata perfetta"! Perché tutti i numeri interi sono "radici quadrate perfette", ma non tutti dei quadrati perfetti.
Ok, il quesito si fa interessante.

[_luca.barletta]

http://www.matematicamente.it/forum/quadrati-perfetti-t19616.html?highlight=quadrato%20perfetto

[vict85]

"quattrocchi":Let a and b be positive integers such that ab + 1 divides a2 + b2.
Show that $a2 + b2/ ab + 1$ is the square of an integer.

QUESTO è IL TESTO INTEGRALE
quello che dici è vero............ma il risultato deve essere un quadrato perfetto!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

è semplice come quesito!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Personalmente trovo odioso il mettere tutti quei punti esclamativi...

Comunque così la prima cosa che ho notato è che $a^2 + b^2 = k*MCD(a.b)^2$ per un qualche $k$ (che è uguale alla somma di due quadrati). $MCD(a,b)^2|ab$ e quindi non divide $ab+1$. Quindi $(k*MCD(a.b)^2)/(ab+1) = k'*MCD(a,b)^2$ e quindi $k'$ e $MCD(a,b)^2$ sono o quadrati o uguali a 1.

Ora non ho voglia di andare avanti, se mi va ci provo domani.