TdN: se 1/2, 1/(x+1), x/(x+1) \in X, allora...

[Sk_Anonymous]

UK-IMO: sia $X \subseteq \mathbb{Q}$ tale che i) $1/2 \in X$; ii) $1/(x+1), x/(x+1) \in X$, per ogni $x \in X$. Mostrare che allora $X \supseteq ]0, 1[ \cap \mathbb{Q}$.

EDIT: in realtà devo apportare una piccola correzione alla traccia originale del problema: più che esserci uguale, l'insieme X contiene l'intersezione dell'intervallo $]0,1[$ con i razionali.

EDIT: ho modificato il titolo del topic, che ancora conteneva un riferimento all'uguaglianza inizialmente postulata dalla traccia (poi corretta) del problema.

[Sk_Anonymous]

non c'ho capito niente, potresti spiegarti con una simbologia più umana?

[Sk_Anonymous]

...ci proverò! Però non puoi chiedere al fuoco di sgusciare sul letto d'un fiume come se fosse acqua.

-----

Immagina che X sia un sottoinsieme di Q (l'insieme dei razionali) che soddisfa le proprietà di seguito indicate: i) 1/2 è in X; ii) se x è un elemento di X, così pure sono elementi dello stesso insieme 1/(x+1) ed x/(x+1). Quel che si chiede di dimostrare è che, sotto queste condizioni, X contiene l'insieme di tutti i numeri razionali dell'intervallo aperto ]0, 1[. Spero che adesso sia più chiaro...

[Sk_Anonymous]

ok, chiaro! grazie

[Sk_Anonymous]

penso si possa procedere per assurdo

[Sk_Anonymous]

Il tentativo è lodevole, però pensarlo non basta.

[Sk_Anonymous]

forse dico una castroneria, ma se è vero che $X in $ bla,bla,bla... allora deve essere una frazione $x/y$ con y>x $in N$, quindi posso già escludere tutti i razionali maggiori di uno e quelli negativi, ora posso escludere anche tutti gli irrazionali in quell'intervallo, perchè... un aiutino?

[Sk_Anonymous]

Probabilmente ti ho un po' confuso, perché ho modificato la traccia originale del problema: rileggila adesso, si tratta di dimostrare che X contiene l'insieme $]0, 1[ \cap \mathbb{Q}$ (i.e., l'insieme dei punti razionali dell'intervallo aperto $]0, 1[$), non già che gli è uguale. Perciò devi provare che, comunque scelto un numero razionale $0 < r < 1$, necessariamente $r \in X$, se $X$ soddisfa le proprietà i) e ii) sopra indicate, d'accordo?! Altri aiuti non voglio darne, non è nel mio stile: ti dico tuttavia che l'idea di una dimostrazione per assurdo mi garba tanto (btw, è esattamente il modo in cui ho proceduto anch'io).

[Sk_Anonymous]

potrei scrivere due successioni $x_n=x_(n-1)/(x_(n-1)+1)$ e $y_n=1/(y_(n-1)+1)$ ponendo $x_0=y_0=1$ valide per n>1, quindi poichè il loro limite per n a infinito va a zero si capisce che l'insieme è compreso tra (0,1) escudendo i bordi. ora credo si possa dimostrare che tra un termine ed un'altro delle due successioni ne esiste sempre un altro facendo un pò di calcoli da cui la tesi. per escudere l'esistenza degli irrazionali dall'insieme dovrebbe essere semplice ma forse mi serve qualche conoscenza. Che ne dici? a quest'ora non ce la faccio a dimostrare tutto, però l'idea è questa.

[Sk_Anonymous]

"gaussz":potrei scrivere due successioni $x_n=x_(n-1)/(x_(n-1)+1)$ e $y_n=1/(y_(n-1)+1)$ ponendo $x_0=y_0=1$ valide per n>1, quindi poichè il loro limite per n a infinito va a zero si capisce che l'insieme è compreso tra (0,1) escudendo i bordi.

Ehmmm... Non c'è modo di dimostrarlo, semplicemente perché non può essere vero. Ad esempio, l'insieme $\mathbb{Q}$ soddisfa sicuramente le proprietà i) e ii), però non mi pare si possa dire che è contenuto nell'intervallo $(0,1)$. D'altro canto, il problema - nella versione definitiva in cui adesso si presenta! - chiede di provare che $X$ contiene tutti i razionali dell'intervallo aperto $(0, 1)$, niente di più e niente di meno.

"gaussz": [...] per escudere l'esistenza degli irrazionali dall'insieme dovrebbe essere semplice ma forse mi serve qualche conoscenza.

...in verità gli irrazionali sono esclusi per costruzione, siccome vien detto che "X è un sottoinsieme di $\mathbb{Q}$".

[Sk_Anonymous]

"HiTLeuLeR":[quote="gaussz"]potrei scrivere due successioni $x_n=x_(n-1)/(x_(n-1)+1)$ e $y_n=1/(y_(n-1)+1)$ ponendo $x_0=y_0=1$ valide per n>1, quindi poichè il loro limite per n a infinito va a zero si capisce che l'insieme è compreso tra (0,1) escudendo i bordi.

[/quote]

non intendevo dire che Q è sottoinsieme di (0,1)(assurdo), ma che X è sottoinsieme di (0,1)

[Sk_Anonymous]

"gaussz":[...] non intendevo dire che Q è sottoinsieme di (0,1)(assurdo), ma che X è sottoinsieme di (0,1)

Sì, gaussz, quest'era chiaro: il fatto è che, se poni $X = \mathbb{Q}$, allora hai che le proprietà i) e ii) sono ancora soddisfatte, ma ciò nonostante $X$ non è certo contenuto in $(0,1)$. Questo a riprova del fatto che, in generale, $X$ non è necessariamente un sottoinsieme dell'intervallo $(0,1)$, se pure soddisfa le proprietà i) e ii). Ci siamo intesi, adesso?

Quel che si chiede di dimostrare, piuttosto, è che: "se X soddisfa le proprietà i) e ii), allora contiene tutti i razionali dell'intervallo aperto $]0, 1[$". Spero di non dovermi ulteriormente spiegare a riguardo.

[Sk_Anonymous]

potresti dimostrarmelo? a me sembra il contrario!

[Sk_Anonymous]

Dimostrarti cosa? Non capisco... Il problema consiste appunto nel provare che i razionali dell'intervallo aperto $(0,1)$ sono necessariamente contenuti in $X$, se $X$ è un sottoinsieme di $\mathbb{Q}$ che verifica le proprietà i) e ii). Dimostrarti questo significherebbe in pratica risolvere il problema: è questo che mi chiedi?! Sono confuso...

[Thomas16]

Se "x=p/q", allora dalle ipotesi $p/(p+q)$ e $q/(p+q)$ appartengono ad $X$. Inotre
$(p,p+q)=(q,p+q)=(p,q)$ da cui segue che se $(p,q)$ erano irriducibili, anche i nuovi numeri lo sono.

Ora, si vuole vedere che se $(c,d)=1$ et $c
$d=1$ per hp.

$d-1->d$

Prendiamo un numero c primo con d e minore di d. Uno tra i due numeri $c/(d-c)$ e $(d-c)/c$ rispetta le ipotesi induttive e quindi appartiene ad $X$. Ma si verifica allora che c/d è ottenibile a partire da questi numeri.

Se è sbagliato è colpa della birra. Ciao!

aggiunta: ah mi scuso se ora non leggo i vostri msg...

[Sk_Anonymous]

no, non ti chiedevo questo, è che secondo me se X è un sottoinsieme di Q e verifica i) ed ii) allora è coincidente con (0,1) edit

[Sk_Anonymous]

"gaussz":no, non ti chiedevo questo, è che secondo me se X è un sottoinsieme di Q e verifica i) ed ii) allora è coincidente con (0,1) edit

...e questo non è vero! Come già ti ho detto (ma forse ti è sfuggito!?), poni ad esempio $X := \mathbb{Q}$. Allora ovviamente $1/2 \in X$. Inoltre, siccome $X = \mathbb{Q}$, banalmente $x \in X$ sse $x$ è razionale. Senonché $x/(x+1)$ ed $1/(x+1)$ sono anch'essi razionali, se $x$ è tale di per sé. Dunque resta provato per questa via che, se $x \in X$, così pure $x/(x+1), 1/(x+1) \in X$. Questo dimostra che $X = \mathbb{Q}$ verifica ambedue le proprietà i) e ii). Però NON è certo contenuto in $(0,1)$...

[Sk_Anonymous]

"gaussz":no, non ti chiedevo questo, è che secondo me se X è un sottoinsieme di Q e verifica i) ed ii) allora è coincidente con (0,1) edit

+

...e questo non è vero! Come già ti ho detto (ma forse ti è sfuggito!?), poni ad esempio $X := \mathbb{Q}$. Allora ovviamente $1/2 \in X$. Inoltre, siccome $X = \mathbb{Q}$, banalmente $x \in X$ sse $x$ è razionale. Senonché $x/(x+1)$ ed $1/(x+1)$ sono anch'essi razionali, se $x$ è tale di per sé. Dunque resta provato per questa via che, se $x \in X$, così pure $x/(x+1), 1/(x+1) \in X$. Questo dimostra che $X = \mathbb{Q}$ verifica ambedue le proprietà i) e ii). Però NON è certo contenuto in $(0,1)$...

da cui l'assurdo ho capito, ciao!

[Sk_Anonymous]

"Thomas":[...] Ora, si vuole vedere che se $(c,d)=1$ et $c
$d=1$ per hp.

Bene! Eccetto per il fatto che la base di induzione corrisponde a scegliere $d = 2$, e non $d = 1$. Suppongo che la ragione della svista sia imputabile tuttavia alla birra...

"Thomas":[...] Prendiamo un numero c primo con d e minore di d. Uno tra i due numeri $c/(d-c)$ e $(d-c)/c$ rispetta le ipotesi induttive e quindi appartiene ad $X$. Ma si verifica allora che c/d è ottenibile a partire da questi numeri.

Sì, tutto funziona, pur di osservare esplicitamente che, nel corso delle argomentazioni, si ammette $d-1 \ge 2$, per cui non può mai essere $d-c = c$, là dove $\gcd(c,d) = 1$. Ne segue che a forza $1 \le d-c < c$ oppure $1 \le c < d-c$. Unito al fatto che $\gcd(d-c,c) = \gcd(c,d) = 1$, questo garantisce di poter usare l'ipotesi induttiva e concludere così la dimostrazione. Bravo Thomas!

[Sk_Anonymous]

ho capito, non avevo letto x$in$X, scusate comunque se trascuro la parte "x$in$X" l'insieme è coincidente con (0,1)?

[Sk_Anonymous]

cioè ecco cosa non mi è chiaro (scusate ma di questi problemi non ne ho mai visti prima d'ora) :il testo dice che X è "un" sottoinsieme di Q ma non dice quale! da ciò deduco che la relazione da dimostrare deve essere vera per tutti i sottoinsiemi di Q cui appartiene 1/2 e quindi anche per (0,1) intersezione con Q (l'uguaglianza che aveva scritto HiTleuLer inizialmente).

potreste chiarire?

Grazie!