TdN: se 1/2, 1/(x+1), x/(x+1) \in X, allora...
UK-IMO: sia $X \subseteq \mathbb{Q}$ tale che i) $1/2 \in X$; ii) $1/(x+1), x/(x+1) \in X$, per ogni $x \in X$. Mostrare che allora $X \supseteq ]0, 1[ \cap \mathbb{Q}$.
EDIT: in realtà devo apportare una piccola correzione alla traccia originale del problema: più che esserci uguale, l'insieme X contiene l'intersezione dell'intervallo $]0,1[$ con i razionali.
EDIT: ho modificato il titolo del topic, che ancora conteneva un riferimento all'uguaglianza inizialmente postulata dalla traccia (poi corretta) del problema.
EDIT: in realtà devo apportare una piccola correzione alla traccia originale del problema: più che esserci uguale, l'insieme X contiene l'intersezione dell'intervallo $]0,1[$ con i razionali.
EDIT: ho modificato il titolo del topic, che ancora conteneva un riferimento all'uguaglianza inizialmente postulata dalla traccia (poi corretta) del problema.
Risposte
"gaussz":
[...] da ciò deduco che la relazione da dimostrare deve essere vera per tutti i sottoinsiemi di Q cui appartiene 1/2 e quindi anche per (0,1) intersezione con Q [...]
Infatti è così, vale per tutti i sottoinsiemi di $Q$ che soddisfano le proprietà i) e ii), quindi in particolare anche per l'insieme $I$ di tutti i punti razionali dell'intervallo APERTO $]0, 1[$. D'altro canto, $I = I$ (la scoperta dell'acqua calda!). Perciò - almeno in questo caso! - è banale che sia $I \supseteq I$.
scusa HiTl ma devo chiederti un ultimo chiarimento:
se X verifica i) ed ii) allora X contiene necessariamente tutti i termini della successione $a_n=1/(a_(n-1)+1)$ innescata con $a_0=1/2$ che per n tendente a piu infinito converge all'irrazionale $(sqrt(5)-1)/2$. allora io mi domando: un insieme che verifica i) ed ii) contiene quindi necessariamente quest'irrazionale (e forse anche altri) quindi X non può essere sottoinsieme di Q
perchè gli irrazionali non sono contenuti in Q, ciò contraddice la tesi perchè non esiste sottoinsieme di Q che verifica i) ed ii). se non contenesse l'irrazionale suddetto allora almeno un termine della successione (razionale) non c'è nell'insieme e ciò contraddirebbe ugualmente la tesi.
spero sia per te chiaro quello che ho detto](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
ps : che significa UK-IMO?
se X verifica i) ed ii) allora X contiene necessariamente tutti i termini della successione $a_n=1/(a_(n-1)+1)$ innescata con $a_0=1/2$ che per n tendente a piu infinito converge all'irrazionale $(sqrt(5)-1)/2$. allora io mi domando: un insieme che verifica i) ed ii) contiene quindi necessariamente quest'irrazionale (e forse anche altri) quindi X non può essere sottoinsieme di Q
perchè gli irrazionali non sono contenuti in Q, ciò contraddice la tesi perchè non esiste sottoinsieme di Q che verifica i) ed ii). se non contenesse l'irrazionale suddetto allora almeno un termine della successione (razionale) non c'è nell'insieme e ciò contraddirebbe ugualmente la tesi.
spero sia per te chiaro quello che ho detto
ps : che significa UK-IMO?
IMO sono le olimpiadi internazionali di matematica.
"gaussz":
[...] se X verifica i) ed ii) allora X contiene necessariamente tutti i termini della successione $a_n=1/(a_(n-1)+1)$ innescata con $a_0=1/2$ che per n tendente a piu infinito converge all'irrazionale $(sqrt(5)-1)/2$. allora io mi domando: un insieme che verifica i) ed ii) contiene quindi necessariamente quest'irrazionale (e forse anche altri) quindi X non può essere sottoinsieme di Q [...]
Ehmmm... Quando mai si è detto che il limite di una successione di punti tutti appartenenti ad un assegnato insieme X debba esso stesso appartenere ad X?!
"gaussz":
[...] ps : che significa UK-IMO?
United Kingdom International Mathematical Olympiads.
Salve!
Eh, Eh,
Gaussz
A quanto pare la matematica è il campo di pochi eletti,
ai quali quasi certamente , io ( come hai , non a torto, osservato )
non appartengo
ma ai quali, quasi altrettanto certamente ,non appartieni
(almeno per ora!) neppure tu
Eh, Eh,
GausszA quanto pare la matematica è il campo di pochi eletti,
ai quali quasi certamente , io ( come hai , non a torto, osservato )
non appartengo
ma ai quali, quasi altrettanto certamente ,non appartieni (almeno per ora!) neppure tu
vediamo se riesco!?!! a dimostrarti il quasi e a negare l'almeno per ora:
poichè per la tesi se un sottoinsieme di Q verifica ii) deve contenere necessariamente $1/2$ per poter contenere anche (0,1) intersezione con Q deduco che ciò equivale a dire che partendo da $x=1/2$ e calcolando $1/(x+1)$ e $x/(x+1)$ e facendo lo stesso per ogni nuovo termine x devo ottenere procedendo all'infinito (poichè l'insieme ha infiniti termini) tutti i razionali tra (0,1). ciò è dimostrato dal fatto che (0,1) intersezione Q verifica per ovvietà i) ed ii) (nei due sensi) poichè in caso contrario avremmo un assurdo in quanto se partendo da 1/2 costruiremmo un insieme che non è (0,1) vorrebbe dire che in (0,1) c'è almeno un termine che non soddisfa ii) o che viene meno la necessarietà di contenere 1/2 (una delle due).
EDIT: devo chiarirmi ulteriormente: per ciò che ho scritto qui sopra se partendo da 1/2 ottenessimo un sottoinsieme di (0,1) sarebbe un assurdo per il fatto che se x $in$ X allora anche $(1-x)/x or x/(1-x) in X$ da cui se anche un solo elemento di (0,1) non c'è nel sottoinsieme costruito per almeno un x non è verificata ii).
io non sono un matematico e quindi non mi esprimo con la terminologia dei matematici(so pochissimo di Tdn) ma con quella di una persona comune che cerca di capire, che sa poco nulla di matematica ma ciò non vuol dire che non può dimostrare un teorema. e poi diciamo che ho osato forse un pò oltre il consentito nel cimentermi in questi problemi di livello internazionale che tra l'altro non avevo mai visto.
infatti la terminologia e le conoscenze sono cose che si apprendono con l'eperienza che a me manca in quanto ancora ventenne e inoltre credo che sia il più scemo chi non fa nulla per sforzarsi di comprendere le cose. ciao.
poichè per la tesi se un sottoinsieme di Q verifica ii) deve contenere necessariamente $1/2$ per poter contenere anche (0,1) intersezione con Q deduco che ciò equivale a dire che partendo da $x=1/2$ e calcolando $1/(x+1)$ e $x/(x+1)$ e facendo lo stesso per ogni nuovo termine x devo ottenere procedendo all'infinito (poichè l'insieme ha infiniti termini) tutti i razionali tra (0,1). ciò è dimostrato dal fatto che (0,1) intersezione Q verifica per ovvietà i) ed ii) (nei due sensi) poichè in caso contrario avremmo un assurdo in quanto se partendo da 1/2 costruiremmo un insieme che non è (0,1) vorrebbe dire che in (0,1) c'è almeno un termine che non soddisfa ii) o che viene meno la necessarietà di contenere 1/2 (una delle due).
EDIT: devo chiarirmi ulteriormente: per ciò che ho scritto qui sopra se partendo da 1/2 ottenessimo un sottoinsieme di (0,1) sarebbe un assurdo per il fatto che se x $in$ X allora anche $(1-x)/x or x/(1-x) in X$ da cui se anche un solo elemento di (0,1) non c'è nel sottoinsieme costruito per almeno un x non è verificata ii).
io non sono un matematico e quindi non mi esprimo con la terminologia dei matematici(so pochissimo di Tdn) ma con quella di una persona comune che cerca di capire, che sa poco nulla di matematica ma ciò non vuol dire che non può dimostrare un teorema. e poi diciamo che ho osato forse un pò oltre il consentito nel cimentermi in questi problemi di livello internazionale che tra l'altro non avevo mai visto.
infatti la terminologia e le conoscenze sono cose che si apprendono con l'eperienza che a me manca in quanto ancora ventenne e inoltre credo che sia il più scemo chi non fa nulla per sforzarsi di comprendere le cose. ciao.
"gaussz":
[...] poichè per la tesi se un sottoinsieme di Q verifica ii) deve contenere necessariamente $1/2$ per poter contenere anche (0,1) intersezione con Q deduco che ciò equivale a dire che partendo da $x=1/2$ e calcolando $1/(x+1)$ e $x/(x+1)$ e facendo lo stesso per ogni nuovo termine x devo ottenere [...] tutti i razionali tra (0,1).
Sì, questo è un fatto più che naturale, se ci pensi: la soluzione di un problema/la dimostrazione di un teorema non può passare che per l'uso dei dati/delle ipotesi. Se i dati/le ipotesi non sono ridondanti, allora gli uni/le altre concorrono in blocco a comporre la soluzione/dimostrazione. Ma capisco che in effetti può essere gratificante, di tanto in tanto, riscoprire l'acqua calda...
"gaussz":
[...] ciò è dimostrato dal fatto che (0,1) intersezione Q verifica per ovvietà i) ed ii) (nei due sensi) poichè in caso contrario avremmo un assurdo in quanto se partendo da 1/2 costruiremmo un insieme che non è (0,1) vorrebbe dire che in (0,1) c'è almeno un termine che non soddisfa ii) o che viene meno la necessarietà di contenere 1/2 (una delle due). [...]
Così si mostra semplicemente che l'insieme $S := (0,1) \cap \mathbb{Q}$ è un modello del problema, cioè che esiste effettivamente un sottoinsieme di $\mathbb{Q}$ per cui le condizioni i) e ii) sono soddisfatte. Il problema chiede però di dimostrare qualcos'altro, e di questo penso d'aver già discusso in lungo e in largo per tutto il thread. Perciò non mi ripeto!
"gaussz":
[...] io non sono un matematico e quindi non mi esprimo con la terminologia dei matematici [...]
Non affliggerti: non lo sono neanch'io!
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