TdN additiva: {A, B} partizione di {1, 2, ..., 9}, a+b = 2c
Romanian ST: se $\{A, B\}$ è una partizione dell'insieme $X := \{1, 2, ..., 9\}$, allora l'uno o l'altro fra $A$ e $B$ contiene elementi distinti $a, b, c$ tali che $a+b = 2c$.
Risposte
Volevo un chiarimento: se $F={A,B}$ è una partizione dell'insieme X allora $A nn B$=vuoto, vuoto$!in F$ e $uuu_{x in F} Y=X$. Ora bisogna dimostrare che o A o B contiene tre elementi distinti a,b,c, e che a+b=2c. Giusto?
Siccome non conosco il MathML... Dire che F = {A, B} è una partizione di X significa dire che A e B sono insiemi disgiunti la cui unione è proprio X. Il problema chiede di provare che, qualunque sia F, esistono elementi distinti a, b, c tutti appartenenti all'uno o all'altro fra A e B tali che a+b = 2c.
fornisco l'idea ma non tutta la risoluz. :
la possibili combinazioni di a,b,c sono:
2 1 3,3 1 5,3 2 6,4 1 7,4 2 6,4 3 5,5 1 9,5 2 8,5 3 7,6 1 5,6 2 4,7 9 5,8 7 9
ora si può dire che, elencando tutte le combinazioni a 5 a 5 degli elementi X(che sono 126), che ognuna di queste contiene una terna sopracitata quindi è vero anche a 6 a 6, a 7 a 7, a 8 a 8, a 9 a 9. poichè il numero degli elementi di A + il numero degli elementi di B=9 A e B hanno cardinalità massima per 4,5 o 5,4 da cui la tesi.
senza elencare tutto si può fare giocando un pò con le combinazioni sulle terne.
ciao!
la possibili combinazioni di a,b,c sono:
2 1 3,3 1 5,3 2 6,4 1 7,4 2 6,4 3 5,5 1 9,5 2 8,5 3 7,6 1 5,6 2 4,7 9 5,8 7 9
ora si può dire che, elencando tutte le combinazioni a 5 a 5 degli elementi X(che sono 126), che ognuna di queste contiene una terna sopracitata quindi è vero anche a 6 a 6, a 7 a 7, a 8 a 8, a 9 a 9. poichè il numero degli elementi di A + il numero degli elementi di B=9 A e B hanno cardinalità massima per 4,5 o 5,4 da cui la tesi.
senza elencare tutto si può fare giocando un pò con le combinazioni sulle terne.
ciao!
Ehmmm... Questa non è una soluzione, è una bruttura! 
VERO, quindi lascio la risoluz. ad altri, avendo comunque l'animo fiero di aver trovato un metodo 
Per assurdo sia ${A_0,A_1}$ una partizione dell'insieme ${1,2,3...9}$ tale che presi tre elementi distinti $a,b,c$ da $A_0$ o da $A_1$ non accada mai $a+b=2c$. Quindi significa che per ogni $a,b in A_i$ con $a != b$ e $a -= b mod 2$ si ha $(a+b)/2 in A_(1-i)$.
(1) Per $i=0,1$ non esistono tre elementi distinti $x,y,z in A_i$ che siano egualmente spaziati, cioè che a meno di permutazioni esista $k$ per cui $y=x+k$ e $z=x+2k$. Infatti se così fosse avremmo $(x+z)/2=x+k=y in A_i$, impossibile.
Scriviamo $P_i$ per indicare l'insieme degli elementi pari di $A_i$, per la (1) possono presentarsi, a meno di permutazioni tra $P_0$ e $P_1$, solamente i seguenti casi
1)$P_0={2,4,8}$ e $P_1={6}$
2)$P_0={2,6,8}$ e $P_1={4}$
3)$P_0={2,4}$ e $P_1={6,8}$
4)$P_0={2,8}$ e $P_1={4,6}$
5)$P_0={2,6}$ e $P_1={4,8}$
1) Abbiamo $(2+4)/2=3,(2+8)/2=5 in A_1$, se fosse $1 in A_1$ allora dovrebbe essere $(1+5)/2=3 in A_0$, impossibile, per cui $1 in A_0$. Se fosse $7 in A_1$ dovrebbe essere $(3+7)/2=5 in A_0$, impossibile, quindi $7 in A_0$ e anche $(1+7)/2=4 in A_1$ impossibile.
2) Abbiamo $(2+8)/2=5,(6+8)/2=7 in A_1$, se fosse $1 in A_1$ allora dovrebbe essere $(1+7)/2=4 in A_0$, impossibile, quindi $1 in A_0$. Se fosse $3 in A_1$ allora dovrebbe essere $(3+5)/2=4 in A_0$, impossibile, quindi $3 in A_0$ e anche $(1+3)/2=2 in A_1$, impossibile.
3) Abbiamo $(2+4)/2=3 in A_1$ e $(6+8)/2=7 in A_0$, se fosse $9 in A_1$ allora dovrebbe essere $(3+9)/2=6 in A_0$, impossibile, quindi $9 in A_0$. Se fosse $1 in A_0$ allora dovrebbe essere $(1+7)/2=4 in A_1$, impossibile, per cui $1 in A_1$. Adesso se $5 in A_0$ allora $(9+5)/2=7 in A_1$, impossibile, quindi $5 in A_1$ e $(1+5)/2=3 in A_0$, impossibile.
4) Abbiamo $(2+8)/2=5 in A_1$ e $(4+6)/2=5 in A_0$, impossibile.
5) Se $3 in A_0$ allora $1 in A_1$, altrimenti sarebbe $(1+3)/2 in A_1$, e anche $9 in A_1$, altrimenti sarebbe $(3+9)/2=6 in A_1$, infine $(1+9)/2=5 in A_0$. Ora se $7 in A_0$ allora $(5+7)/2=6 in A_1$, impossibile, ma se $7 in A_1$ allora $(7+1)/2=4 in A_0$, impossibile. Quindi $3 in A_1$ allora $5 in A_0$ altrimenti sarebbe $(3+5)/2=4 in A_0$ e anche $7 in A_1$ altrimenti sarebbe $(5+7)/2=6 in A_1$. Infine $1 in A_0$ altrimenti sarebbe $(7+1)/2=4 in A_0$, ora se $9 in A_0$ allora $(1+9)/2=5 in A_1$, impossibile, ma se $9 in A_1$ allora $(9+7)/2=8 in A_0$, impossibile
(1) Per $i=0,1$ non esistono tre elementi distinti $x,y,z in A_i$ che siano egualmente spaziati, cioè che a meno di permutazioni esista $k$ per cui $y=x+k$ e $z=x+2k$. Infatti se così fosse avremmo $(x+z)/2=x+k=y in A_i$, impossibile.
Scriviamo $P_i$ per indicare l'insieme degli elementi pari di $A_i$, per la (1) possono presentarsi, a meno di permutazioni tra $P_0$ e $P_1$, solamente i seguenti casi
1)$P_0={2,4,8}$ e $P_1={6}$
2)$P_0={2,6,8}$ e $P_1={4}$
3)$P_0={2,4}$ e $P_1={6,8}$
4)$P_0={2,8}$ e $P_1={4,6}$
5)$P_0={2,6}$ e $P_1={4,8}$
1) Abbiamo $(2+4)/2=3,(2+8)/2=5 in A_1$, se fosse $1 in A_1$ allora dovrebbe essere $(1+5)/2=3 in A_0$, impossibile, per cui $1 in A_0$. Se fosse $7 in A_1$ dovrebbe essere $(3+7)/2=5 in A_0$, impossibile, quindi $7 in A_0$ e anche $(1+7)/2=4 in A_1$ impossibile.
2) Abbiamo $(2+8)/2=5,(6+8)/2=7 in A_1$, se fosse $1 in A_1$ allora dovrebbe essere $(1+7)/2=4 in A_0$, impossibile, quindi $1 in A_0$. Se fosse $3 in A_1$ allora dovrebbe essere $(3+5)/2=4 in A_0$, impossibile, quindi $3 in A_0$ e anche $(1+3)/2=2 in A_1$, impossibile.
3) Abbiamo $(2+4)/2=3 in A_1$ e $(6+8)/2=7 in A_0$, se fosse $9 in A_1$ allora dovrebbe essere $(3+9)/2=6 in A_0$, impossibile, quindi $9 in A_0$. Se fosse $1 in A_0$ allora dovrebbe essere $(1+7)/2=4 in A_1$, impossibile, per cui $1 in A_1$. Adesso se $5 in A_0$ allora $(9+5)/2=7 in A_1$, impossibile, quindi $5 in A_1$ e $(1+5)/2=3 in A_0$, impossibile.
4) Abbiamo $(2+8)/2=5 in A_1$ e $(4+6)/2=5 in A_0$, impossibile.
5) Se $3 in A_0$ allora $1 in A_1$, altrimenti sarebbe $(1+3)/2 in A_1$, e anche $9 in A_1$, altrimenti sarebbe $(3+9)/2=6 in A_1$, infine $(1+9)/2=5 in A_0$. Ora se $7 in A_0$ allora $(5+7)/2=6 in A_1$, impossibile, ma se $7 in A_1$ allora $(7+1)/2=4 in A_0$, impossibile. Quindi $3 in A_1$ allora $5 in A_0$ altrimenti sarebbe $(3+5)/2=4 in A_0$ e anche $7 in A_1$ altrimenti sarebbe $(5+7)/2=6 in A_1$. Infine $1 in A_0$ altrimenti sarebbe $(7+1)/2=4 in A_0$, ora se $9 in A_0$ allora $(1+9)/2=5 in A_1$, impossibile, ma se $9 in A_1$ allora $(9+7)/2=8 in A_0$, impossibile
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