Tavolini in uno sgabuzzino
In uno sgabuzzino $2m x 2m$ vi sono 2 tavolini di forma circolare, di $1m$ di diametro. Qual è l'area del luogo dei centri dei due tavolini?
Risposte
Il luogo dei centri dovrebbe essere lo spazio compreso tra un quadrato di lato $1m$ e un cerchio di diametro $1m$ con i centri coincidenti con il centro dello sgabuzzino.
L'area richiesta dovrebbe essere perciò:
$A=1^2-pi(1/2)^2=1-pi/4$
L'area richiesta dovrebbe essere perciò:
$A=1^2-pi(1/2)^2=1-pi/4$
Questo sarebbe corretto se uno dei tavolini rimanesse fermo in uno spigolo e l'altro si muovesse di conseguenza, ma non è così. Possono muoversi entrambi.
In effetti a pensarci meglio la situazione è un po' piú complicata... 
Quanti tavolini con diametro 450 posso mettere in uno sgabuzzioni rettangolare 1200 x 1000.
"elgiovo":
In uno sgabuzzino $2m x 2m$ vi sono 2 tavolini di forma circolare, di $1m$ di diametro. Qual è l'area del luogo dei centri dei due tavolini?
Io ho ottenuto il seguente risultato:
$A=(sqrt3-pi/3)m^2=0,68485 m^2$
"Sambiagio":
Quanti tavolini con diametro 450 posso mettere in uno sgabuzzioni rettangolare 1200 x 1000.
Direi non più di cinque.
"MaMo":
[quote="elgiovo"]In uno sgabuzzino $2m x 2m$ vi sono 2 tavolini di forma circolare, di $1m$ di diametro. Qual è l'area del luogo dei centri dei due tavolini?
Io ho ottenuto il seguente risultato:
$A=(sqrt3-pi/3)m^2=0,68485 m^2$[/quote]
Risposta esatta.
Postereste il procedimento?
Se è lungo o necessita di immagini, anche solo la logica.
Grazie, ciao
Se è lungo o necessita di immagini, anche solo la logica.
Grazie, ciao
"elgiovo":
Qual è l'area del luogo dei centri dei due tavolini?
Scusate ma non ho capito cosa chiede il problema, cosa intendi per luogo dei centri?
Sambiagio ha scritto:
Quanti tavolini con diametro 450 posso mettere in uno sgabuzzioni rettangolare 1200 x 1000.
Direi non più di cinque.
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Come posso calcolarlo?
Quanti tavolini con diametro 450 posso mettere in uno sgabuzzioni rettangolare 1200 x 1000.
Direi non più di cinque.
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Come posso calcolarlo?
"Tony125":
[quote="elgiovo"]Qual è l'area del luogo dei centri dei due tavolini?
Scusate ma non ho capito cosa chiede il problema, cosa intendi per luogo dei centri?[/quote]
Intendo l'insieme dei punti in cui possono trovarsi i centri dei due tavolini.
Al centro della stanza si verrà a creare un quadrato di 1m di lato con all'interno una figura siffatta:
Chiedo scusa per la colorazione, ovviamente il luogo non comprende quel quadrilatero ricurvo al centro.
Il luogo è composto da 8 pezzi, suddivisi in due tipi di figure, quella a contatto con i lati del quadrato e i petali del "fiore". Si può agevolmente trovare l'area della prima, che è $1/2(1-sqrt3/2)-2(pi/12-1/4)$. (il primo addendo rappresenta l'area del triangolo $ABC$, il secondo l'area del segmento circolare a una base che va sottratto ad $ABC$ per ottenere l'area di metà figura, il tutto è poi moltiplicato per due). L'area della seconda è allora $1-pi/4-2[1/2(1-sqrt3/2)-2(pi/12-1/4)]$, l'area totale del luogo è $4[1/2(1-sqrt3/2)-2(pi/12-1/4)]+4{1-pi/4-2[1/2(1-sqrt3/2)-2(pi/12-1/4)]}=sqrt3-pi/3$.
Chiedo scusa per la colorazione, ovviamente il luogo non comprende quel quadrilatero ricurvo al centro.
Il luogo è composto da 8 pezzi, suddivisi in due tipi di figure, quella a contatto con i lati del quadrato e i petali del "fiore". Si può agevolmente trovare l'area della prima, che è $1/2(1-sqrt3/2)-2(pi/12-1/4)$. (il primo addendo rappresenta l'area del triangolo $ABC$, il secondo l'area del segmento circolare a una base che va sottratto ad $ABC$ per ottenere l'area di metà figura, il tutto è poi moltiplicato per due). L'area della seconda è allora $1-pi/4-2[1/2(1-sqrt3/2)-2(pi/12-1/4)]$, l'area totale del luogo è $4[1/2(1-sqrt3/2)-2(pi/12-1/4)]+4{1-pi/4-2[1/2(1-sqrt3/2)-2(pi/12-1/4)]}=sqrt3-pi/3$.
ovviamente il luogo non comprende quel quadrilatero ricurvo al centro.
Perchè?
Adesso dirò una scemata, ma in questo modo non si escludono i punti del luogo nel caso in cui un centro si trovasse lungo un lato del quadrato da te postato? Mi spiego, se il centro di un tavolino fosse sul punto medio di un lato, l'altro centro potrebbe muoversi lungo il lato opposto... però questi punti non compiono nel luogo...
Oppure correggimi se sbaglio: il fatto che tu hai considerato il caso in cui il primo centro si trovi su un vertice, è una sorta di ragionamento sui casi limite?
Grazie per la spiegazione, ciao
Pensaci: lasciando fermo uno dei due tavolini in un angolo, il centro dell'altro tavolino non può superare un arco di circonferenza di centro un vertice del quadrato di lato 1m e di raggio 1. Per il resto può andare dove vuole (sempre nel quadrato di lato 1). Reitera il ragionamento per tutti e quattro gli spigoli e avrai il fiorellino.
Ok, ti ringrazio per la delucidazione.
Ciao
Ciao
Complichiamo un pò le cose: quale sarebbe l'area del luogo se due lati paralleli dello sgabuzzino venissero inclinati in modo da formare un angolo $alpha$ con gli altri due? Ovvero, se lo sgabuzzino avesse la forma di un rombo?
Premessa: non sono pratico nella digitazione delle formule e quindi dirò "p" per intendere "pigreco".
Il tuo ragionamento reca con sè un paradosso logico e geometrico. Bisogna capirsi bene su cosa intendi per "luogo" dei centri dei tavolini. Infatti, se intendi dire l'area delle superfici che i centri dei due tavolini possono avere muovendosi liberamente ma con i vincoli della superficie della stanza e con le loro rispettive superfici, arrivi al seguente paradosso.
Se tengo fermo un tavolino 1 in un angolo A, e muovo il tavolino 2, il centro di di quest'ultimo delimiterà una superficie data dall'area di un quadrato di 1 metro "meno" un quarto di un cerchio con raggio un metro. Ovvero: 1 - p/4.
Stesso risultato, se sposto il tavolino fermo, nell'angolo B, adiacente ad A. Facendo un semplice disegno, come quello che hai fatto, abbiamo un sovrapporsi di superfici.
Il quesito è: l'area che appartiene ad entrambi i casi (tavolino fermo nell'angolo A, tavolino fermo nell'angolo B), va sottratta o sommata? Il paradosso è che se va sottratta, muovendo i tavolini nei quattro angoli, otteniamo una superficie minore di quella che otterremmo muovendo un solo tavolino. Paradosso perché aumentando i movimenti, diminuisce la superficie.
Il paradosso si elimina, sommando le aree che il centro di un tavolino può coprire, spostando di volta in volta l'altro tavolino nei quattro angoli, e così ottenendo 4 - p.
Il tuo ragionamento mi pare invece più che corretto se invece dei luoghi dei centri dei tavolini, vuoi calcolare le differenze dei luoghi dei centri, o meglio ancora i luoghi dei centri che non "collidono" l'un l'altro.
Può essere che mi sbaglio. Un tuo commento è più che gradito.
Il tuo ragionamento reca con sè un paradosso logico e geometrico. Bisogna capirsi bene su cosa intendi per "luogo" dei centri dei tavolini. Infatti, se intendi dire l'area delle superfici che i centri dei due tavolini possono avere muovendosi liberamente ma con i vincoli della superficie della stanza e con le loro rispettive superfici, arrivi al seguente paradosso.
Se tengo fermo un tavolino 1 in un angolo A, e muovo il tavolino 2, il centro di di quest'ultimo delimiterà una superficie data dall'area di un quadrato di 1 metro "meno" un quarto di un cerchio con raggio un metro. Ovvero: 1 - p/4.
Stesso risultato, se sposto il tavolino fermo, nell'angolo B, adiacente ad A. Facendo un semplice disegno, come quello che hai fatto, abbiamo un sovrapporsi di superfici.
Il quesito è: l'area che appartiene ad entrambi i casi (tavolino fermo nell'angolo A, tavolino fermo nell'angolo B), va sottratta o sommata? Il paradosso è che se va sottratta, muovendo i tavolini nei quattro angoli, otteniamo una superficie minore di quella che otterremmo muovendo un solo tavolino. Paradosso perché aumentando i movimenti, diminuisce la superficie.
Il paradosso si elimina, sommando le aree che il centro di un tavolino può coprire, spostando di volta in volta l'altro tavolino nei quattro angoli, e così ottenendo 4 - p.
Il tuo ragionamento mi pare invece più che corretto se invece dei luoghi dei centri dei tavolini, vuoi calcolare le differenze dei luoghi dei centri, o meglio ancora i luoghi dei centri che non "collidono" l'un l'altro.
Può essere che mi sbaglio. Un tuo commento è più che gradito.
Con luogo dei centri intendo la figura geometrica che si ottiene considerando tutte le mutue posizioni dei due punti, che ovviamente sono doppie, fatto questo che non influenza la misura dell'area del luogo. Ciò che chiede il problema a mio modo di vedere non costituisce un paradosso nè logico nè geometrico, prova ne è il fatto che proviene da una gara matematica.
Il fatto che provenga da una gara matematica non significa che sia immune da commenti o considerazioni.
A mio avviso il paradosso rimane. Se per figura geometrica intendi la "rosa" del tuo disegno, che è correttissima, bisogna solo intendersi se le curve debbano essere "tagliate" nei punti di intersecazione, ed in questo caso i percorsi dei centri non devono collidere, oppure se "non" debbano essere tagliate.
Tutto qui.
A mio avviso il paradosso rimane. Se per figura geometrica intendi la "rosa" del tuo disegno, che è correttissima, bisogna solo intendersi se le curve debbano essere "tagliate" nei punti di intersecazione, ed in questo caso i percorsi dei centri non devono collidere, oppure se "non" debbano essere tagliate.
Tutto qui.
proviene da una gara matematica
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