Sui gruppi...
Dire per quali interi $n$ $(ZZ_(n),*)$ è un gruppo abeliano.
Risposte
$(ZZ_(n),*)$ Se per questo intendi l'insieme delle classi modulo n, cioè la domanda sarebbe 'Dire per quali interi $n$ $(ZZ$$/ nZZ,*,[1])$, è un gruppo abeliano',
allora la risposta è che è un gruppo abeliano quando n è primo, e prendiamo $ZZ\\{0}$...
- l'esclusione dello 0 è dovuta, in quanto non è invertibile...cioè non esiste $a in ZZ$ tale che $0a=1$..
- se n è numero primo abbiamo che il massimo comun divisore tra n e ogni $a in ZZ$ è $1$, quindi non esistono zero-divisori e ogni elemento è invertibile...
può andare?
R
allora la risposta è che è un gruppo abeliano quando n è primo, e prendiamo $ZZ\\{0}$...
- l'esclusione dello 0 è dovuta, in quanto non è invertibile...cioè non esiste $a in ZZ$ tale che $0a=1$..
- se n è numero primo abbiamo che il massimo comun divisore tra n e ogni $a in ZZ$ è $1$, quindi non esistono zero-divisori e ogni elemento è invertibile...
può andare?
R
Ho capito... $(ZZ_n, *)$... scusami... comunque quello qui sopra dovrebbe andare...
ma questo è più difficile... lo $0$ bisogna toglierlo in ogni caso... e ho il sospetto che n debba essere primo lo stesso... ad esempio $(ZZ_7,*)$ , cioè $({1,2,3,4,5,6},*)$è un gruppo abeliano, con l'elemento neutro $1$...
ma questo è più difficile... lo $0$ bisogna toglierlo in ogni caso... e ho il sospetto che n debba essere primo lo stesso... ad esempio $(ZZ_7,*)$ , cioè $({1,2,3,4,5,6},*)$è un gruppo abeliano, con l'elemento neutro $1$...
Ma si, che scemo che sono... è la stessa cosa...
prendiamo $ZZ_n,*$,n primo, togliamo lo $0$ a $ZZ_n$, e abbiamo n-1 elementi...
ogni elemento è coprimo con n(visto che n è primo)...
si può perciò ricondurre il problema a quello che ho scritto sopra, e si dimostra così che $(ZZ_n//{0},*)$ è un gruppo abeliano... cioè si considera ogni elemento come classe modulo n... le classi saranno esattamente n-1, e ci saranno gli invertibili, e l'elemento neutro...non esisteranno 0-divisori in quanto 0 e n non sono nell'insieme...
può andare?
R
prendiamo $ZZ_n,*$,n primo, togliamo lo $0$ a $ZZ_n$, e abbiamo n-1 elementi...
ogni elemento è coprimo con n(visto che n è primo)...
si può perciò ricondurre il problema a quello che ho scritto sopra, e si dimostra così che $(ZZ_n//{0},*)$ è un gruppo abeliano... cioè si considera ogni elemento come classe modulo n... le classi saranno esattamente n-1, e ci saranno gli invertibili, e l'elemento neutro...non esisteranno 0-divisori in quanto 0 e n non sono nell'insieme...
può andare?
R
Lo zero andava escluso a priori, mi scuso per non averlo specificato. La risposta è esatta, ma mi spieghi bene perchè $n$ deve essere primo?
"giuseppe87x":
Lo zero andava escluso a priori, mi scuso per non averlo specificato. La risposta è esatta, ma mi spieghi bene perchè $n$ deve essere primo?
Sia $a in ZZ_n$, dobbiamo mostrare che $a$ ha un inverso per ogni $a$ che appartiene a $ZZ_n//{0}$, cioè $(ZZ_n, *)$ è un gruppo.
*Se $n$ non è primo, allora esiste $a$ tale che $0
La commutatività e l'esistenza dell'elemento neutro sono ovvie.
$=>(ZZ_n//{0},*)$ è un gruppo abeliano.
Il problema risulta quindi essere analogo alle classi modulo $n$..
Può andare?
R
Ok.
Ps: scusa per il ritardo...quando trovo un pò di tempo posto la mia soluzione.
Ps: scusa per il ritardo...quando trovo un pò di tempo posto la mia soluzione.
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