Successione (facile)
Sia $x_1,x_2,x_3,x_4,.......$ una successione infinita di reali diversi da zero, tale che, per $n>=3$
$x_n=(x_(n-2)x_(n-1))/(2x_(n-2)-x_(n-1))$
Trovare una condizione su $x_1$ e $x_2$ necessaria e sufficiente affinché $x_n$ sia un naturale per infiniti valori di $n$.
Livello esercizio: facile (per non esperti)
$x_n=(x_(n-2)x_(n-1))/(2x_(n-2)-x_(n-1))$
Trovare una condizione su $x_1$ e $x_2$ necessaria e sufficiente affinché $x_n$ sia un naturale per infiniti valori di $n$.
Livello esercizio: facile (per non esperti)
Risposte
una cosa, bisogna trovare una condizione necessaria e una sufficiente o una necessaria e sufficiente insieme?...
perchè una condizione necessaria è che $x_(n-2)>x_(n-1)/2$ quindi
$x_1>x_2/2
però non è sufficiente come condizione...
$x_1>x_2/2
però non è sufficiente come condizione...
La condizione deve essere allo stesso tempo necessaria e sufficiente.
beh un'altra condizione necessaria è che $mod(x_1*x_2)/(2x_1-x_2)=0$
però non è sufficiente...
in quanto prendiamo $x_1=3$e$x_2=4$
$3_3=(3*4)/(2*3-4)=6$quindi $mod=0$
però se calcoliamo $x_4$ troviamo $(4*6)/(2*4-6)=12$
calcoliamo $x_5=(12*6)/(2*6-12)$impossibile... e quindi la serie è già bella che finita...
la soluzione è quindi un'altra
per ora sto trovando solo condizioni necessarie uffi
però non è sufficiente...
in quanto prendiamo $x_1=3$e$x_2=4$
$3_3=(3*4)/(2*3-4)=6$quindi $mod=0$
però se calcoliamo $x_4$ troviamo $(4*6)/(2*4-6)=12$
calcoliamo $x_5=(12*6)/(2*6-12)$impossibile... e quindi la serie è già bella che finita...
la soluzione è quindi un'altra
per ora sto trovando solo condizioni necessarie uffi
Invece di cercare direttamente condizioni necessarie e sufficienti, prova a capire prima come è fatta la successione...
beh la successione è una successione divergente.. e tutti i suoi termini devono appartenere ad $NN$ e può essere scritta in forma ricorsiva
${(x_1),(x_2),(x_n=(x_(n-2)x_(n-1))/(2x_(n-2)-x_(n-1))):}
quindi possiamo scrivere alcuni elementi della serie $x_1,x_2,(x_1x_2)/(2x_(1)-x_(2)),(((x_(1)x_(2))/(2x_(1)-x_(2)))*x_2)/(2x_2-(x_1*x_2)/(2x_1-x_2)),(((x_1x_2)/(2x_1-x_2))*(((x_(1)x_(2))/(2x_(1)-x_(2)))*x_2))/((2x_2-(x_1*x_2)/(2x_1-x_2)))/(2(x_1x_2)/(2x_1-x_2)-(((x_(1)x_(2))/(2x_(1)-x_(2)))*x_2)/(2x_2-(x_1*x_2)/(2x_1-x_2)))
in questo modo è scritta tutta in funzione di $x_1 e x_2$
(salvo errori di battitura)
ora penso un pò
${(x_1),(x_2),(x_n=(x_(n-2)x_(n-1))/(2x_(n-2)-x_(n-1))):}
quindi possiamo scrivere alcuni elementi della serie $x_1,x_2,(x_1x_2)/(2x_(1)-x_(2)),(((x_(1)x_(2))/(2x_(1)-x_(2)))*x_2)/(2x_2-(x_1*x_2)/(2x_1-x_2)),(((x_1x_2)/(2x_1-x_2))*(((x_(1)x_(2))/(2x_(1)-x_(2)))*x_2))/((2x_2-(x_1*x_2)/(2x_1-x_2)))/(2(x_1x_2)/(2x_1-x_2)-(((x_(1)x_(2))/(2x_(1)-x_(2)))*x_2)/(2x_2-(x_1*x_2)/(2x_1-x_2)))
in questo modo è scritta tutta in funzione di $x_1 e x_2$
(salvo errori di battitura)ora penso un pò
Cerca di trovare un espressione più semplice per $x_n$ in funzione di $x_1$ e $x_2$...
$x_1=x_2$? Non sono sicuro che sia necessaria e sufficiente xke non ho ben chiaro cosa comportino come condizioni 
$A$ è condizione sufficiente per $B$ se $A=>B$
$A$ è condizione necessaria per $B$ se $B=>A$
$A$ è condizione necessaria per $B$ se $B=>A$
Quindi $x_n in NN$$<=>$[Condizione su $x_1, x_2$], cioè se [condizione] allora $x_n in NN$ (sufficiente) e se $x_n in NN$ allora [condizione] (necessaria)?
In tal caso $x_1=x_2$ è sufficiente ma non è detto che sia necessaria?
In tal caso $x_1=x_2$ è sufficiente ma non è detto che sia necessaria?
"Aethelmyth":
Quindi $x_n in NN$$<=>$[Condizione su $x_1, x_2$], cioè se [condizione] allora $x_n in NN$ (sufficiente) e se $x_n in NN$ allora [condizione] (necessaria)?
Sì.
"Aethelmyth":
In tal caso $x_1=x_2$ è sufficiente ma non è detto che sia necessaria?
$x_1=x_2$ e $x_1\in NN$ è ovviamente condizione sufficiente affinché $x_n$ sia naturale per infiniti $n$. La domanda è: è anche condizione necessaria?
Pongo $x_1x_2=y$
La successione sarà:
$x_1, x_2, y/(2x_1-x_2), (yx_2)/(3y-2x_2^2), (yx_2^2)/(4y-3x_2^2), (yx_2^2)/(2x_2^3-6x_2^2-3yx_2+8y)$
a partire da $n=6$, $x_n=(yx_2^2)/(2*(n-5)x_2^3-3*(n-4)x_2^2-3*(n-5)yx_2+4*(n-4)y)$
.... mi sa che ho sbagliato qlke conto ... ora xo vado a dormire
ci penso domani
La successione sarà:
$x_1, x_2, y/(2x_1-x_2), (yx_2)/(3y-2x_2^2), (yx_2^2)/(4y-3x_2^2), (yx_2^2)/(2x_2^3-6x_2^2-3yx_2+8y)$
a partire da $n=6$, $x_n=(yx_2^2)/(2*(n-5)x_2^3-3*(n-4)x_2^2-3*(n-5)yx_2+4*(n-4)y)$
.... mi sa che ho sbagliato qlke conto ... ora xo vado a dormire
ci penso domani
se $x_1=x_2$ la successione è costante...
in quanto, per esempio $x_1=2=x_2$
$x_3=(2*2)/(2*2-2)=2
se invece prendiamo un altro numero a caso per esempio 10
$x_3=(10*10)/(2*10-10)=10
ciò potrebbe essere in accordo con la soluzione, perchè sul testo nn c'è scritto che deve essere divergente... però nn so per quale motivo l'avevo preso come ipotesi...
bah... a volte mi sento scemo..
in quanto, per esempio $x_1=2=x_2$
$x_3=(2*2)/(2*2-2)=2
se invece prendiamo un altro numero a caso per esempio 10
$x_3=(10*10)/(2*10-10)=10
ciò potrebbe essere in accordo con la soluzione, perchè sul testo nn c'è scritto che deve essere divergente... però nn so per quale motivo l'avevo preso come ipotesi...
bah...
a volte mi sento scemo..
Per ora sono arrivato a trovare che
Per ogni $n >= 3$ $(n-1)x_1 - (n-2)x_2 = (x_1x_2)/q$ per qualche $q in NN$ ... boh domani provo a migliorarla (ammesso che sia giusta) ... adesso a nanna
Per ogni $n >= 3$ $(n-1)x_1 - (n-2)x_2 = (x_1x_2)/q$ per qualche $q in NN$ ... boh domani provo a migliorarla (ammesso che sia giusta) ... adesso a nanna
se non ho sbagliato i conti:
$x_n = (x_1x_2)/((x_1-x_2)(n-1) +x_2)$, ma questo puo' essere un naturale per qualsiasi n se e solo se $x_1 - x_2 = 0$
Questo mostrerebbe che in effetti la condizione gia' citata e' necessaria...
$x_n = (x_1x_2)/((x_1-x_2)(n-1) +x_2)$, ma questo puo' essere un naturale per qualsiasi n se e solo se $x_1 - x_2 = 0$
Questo mostrerebbe che in effetti la condizione gia' citata e' necessaria...
Risposta esatta. Attenzione che però avevo richiesto $x_n$ naturale per infiniti valori di n, non per tutti. Comnque la conclusione è la stessa: la condizione è $x_1=x_2$ e $x_1\in NN$.
"vl4d":
se non ho sbagliato i conti:
$x_n = (x_1x_2)/((x_1-x_2)(n-1) +x_2)$, ma questo puo' essere un naturale per qualsiasi n se e solo se $x_1 - x_2 = 0$
Questo mostrerebbe che in effetti la condizione gia' citata e' necessaria...
Uhm mi piace... io avevo fatto un po' troppi conti nel cercare una relazione del genere
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo