Su due piedi (o quasi)

[Bruno13]

1) Supponiamo che a sia un numero dispari, allora (a²-9)² è sempre divisibile per 64.
2) Risolvere in numeri razionali a³-b³ = a-b.
3) Preso un a naturale, i numeri come 2425ª+6ª-485ª-30ª sono tutti multipli di 1916.

[giuseppe87x]

1)
$(a^2-9)^2=[(a+3)(a-3)]^2$
Se $a$ è dispari allora uno dei due fattori è divisibile per $2$, l'altro per $4$, quindi: $[2n*4m]^2=64m^2n^2$

[Sk_Anonymous]

3°
L'espressione e' uguale a $(5^a-1)(485^a-6^a)$.Ora il primo fattore
e' divisibile per 5-1=4 ,il secondo per 485-6=479 e dunque tutta l'espressione
e' divisibile per 4*479=1916.
karl

[son Goku1]

2) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ quindi basta scegliere una coppia a,b tale che $a^2+ab+b^2=1$ che si ha per $(a,(-a+-sqrt(1-3a^2))/2)$ che ha soluzioni reali per $-sqrt(3)/3<=a<=sqrt(3)/3$

[Sk_Anonymous]

"GuillaumedeL'Hopital":2) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ quindi basta scegliere una coppia a,b tale che $a^2+ab+b^2=1$ che si ha per $(a,(-a+-sqrt(1-3a^2))/2)$ che ha soluzioni reali per $-sqrt(3)/3<=a<=sqrt(3)/3$

Il quesito richiedeva una soluzione nei razionali e non nei reali.
Mi verrebbe da dire "da che pulpito sono venute certe prediche"!!
Comunque una prima soluzione si ha per a=b=k dove k e' razionale.
Se a e' diverso da b allora la relazione si puo' scrivere come:
$a^2+ab+b^2=1$ che si puo' interpretare nel piano (a,b) come
l'equazione di un'ellisse passante ad esempio per P(0,1) .La retta generica
per P e' allora b=ma+1 che interseca l'ellisse ,oltre che in P,anche
nel punto di coordinate:
$a=(2m-1)/(m^2-m+1),b=(1-m^2)/(m^2-m+1)$
che ,scegliendo m razionale, danno un'altra soluzione del quesito.
Esistono anche altri metodi di risoluzione.
karl

[Bruno13]

Bravissimi e veloci

Riguardo alla prima questione, si vede facilmente (grazie anche
al metodo mostrato da Giuseppe87x) che la proprietà è valida per
due quadrati dispari qualunque (il 3 non è vincolante).

Per la seconda questione (che proviene dall'Algebra di Bombelli),
come ha ben dimostrato Karl, si arriva a un'identità di questo
tipo, per ogni h razionale:

[(2h-1)/(h²-h+1)]³-[(1-h²)/(h²-h+1)]³ = (2h-1)/(h²-h+1)-(1-h²)/(h²-h+1) ,

la quale può fornire infinite soluzioni per l'indeterminata diofantea:

x²+xy+y² =  .

[son Goku1]

bhè karl io non sono mica un prof, mi sembrava di aver letto reali

[Bruno13]

"karl": (...) Esistono anche altri metodi di risoluzione.

Verissimo. A me infatti è capitato di ragionare su ab=(a+b-1)·(a+b+1),
ponendo poi a=(a+b-1)·h e b=(a+b+1)/h (con h razionale non nullo) e
arrivando finalmente a due espressioni per a e b equivalenti a quelle
ricavate da Karl.