Stuzzichini

Sk_Anonymous
a)Siano x ed y interi positivi verificanti la relazione:
$3x^2+x=4y^2+y$
Dimostrare che le espressioni
$x-y,3x+3y+1,4x+4y+1$
sono quadrati esatti .

b)Nel triangolo ABC siano :
a,b,c i tre lati ; R ed r il circoraggio e l'inraggio rispettivamente.
Sapendo che e'
$ R(a+b)=c*sqrt(a*b)$
dimostrare che e' $r<3/(10)a$

c)Dimostrare che per $n>=2$ l'espressione:
$(3^n+(-1)^(((n),(2))))/2-2^n $
e' divisibile per 5
karl

Risposte
Kroldar
quesito c
verifichiamo che per $n=2$ la proposizione è vera... non è difficile, infatti risulta $(3^2-1)/2-2^2=(9-1)/2-4=4-4=0$ il cui resto modulo $5$ è $0$.
induzione su $n$... verifichiamo che se la proposizione è vera per $n$ allora lo sarà anche per $n+1$
allora ipotizziamo che $(3^n+(-1)^(((n),(2))))/2-2^n=(3^n+(-1)^((n(n-1))/2))/2-2^n=(3^n+(-1)^((n(n-1))/2)-2*2^n)/2$ sia divisibile per $5$
per $n+1$ risulta $(3^(n+1)+(-1)^(((n+1)!)/(2(n-1)!)))/2-2^(n+1)=(3*3^n+(-1)^((n(n-1))/2)*(-1)^n-4*2^n)/2=(3^n+(-1)^((n(n-1))/2)*(-1)^n-2*2^n)/2+3^n-2^n$
ora dobbiamo distinguere 3 casi:

caso 1: $n=2k, k in NN$
$(-1)^n=1$ dunque l'espressione diventa $(3^n+(-1)^((n(n-1))/2)-2*2^n)/2+3^n-2^n$ dove $(3^n+(-1)^((n(n-1))/2)-2*2^n)/2$ è divisibile per $5$ per ipotesi e $3^n-2^n$ è divisibile ugualmente per $5$ (si verifica con un po' di aritmetica modulare)

caso 2: $n=4k+1, k in NN$
si aggiunge e sottrae al numeratore della frazione $(-1)^((n(n-1))/2)$ in modo che l'espressione si trasformi in $(3^n+(-1)^((n(n-1))/2)-2*2^n)/2+3^n-2^n-(-1)^((n(n-1))/2)$ e con un po' di aritmetica modulare si verifica che $3^n-2^n-(-1)^((n(n-1))/2)$ è divisibile per $5$

caso 3: $n=4k+3, k in NN$
come il caso precedente solo che cambiano i conti da svolgere per verificare che $3^n-2^n-(-1)^((n(n-1))/2)$ è divisibile per $5$

Sk_Anonymous
Bene ,Kroldar.Era proprio il 3° es. che piu' mi piaceva veder
risolto, visto che la mia soluzione e' un po' piu' artigianale.
karl

Kroldar
puoi postare anche la tua per favore? mi piace vedere diversi procedimenti per risolvere un quesito, magari il tuo è più semplice

Sk_Anonymous
Non e' piu' semplice ed e' anche lunghetta.
Premetto che e' facile dimostrare che :
$3^(4k)-=1 (mod 10),3^(4k+2)-=9 (mod 10),3^(4k-1)-=7 (mod 10),3^(4k+1)-=3 (mod 10)$
Si precede poi ,come hai fatto te,per induzione.
La divisibilita' e' vera per n=2 e dunque,suppostola verificata per un n>2 generico,
dimostriamola vera per n+1.
Ora si ha :
$ (3^(n+1)+(-1)^(((n+1),(2))))/2-2^(n+1)=2[(3^(n)+(-1)^(((n),(2))))/2-2^(n)]+[(3^n+(-1)^(((n),(2)))[(-1)^n-2])/2]$
Il quesito sara' allora dimostrato se riusciremo a dimostrare che l'ultima
espressione ( che chiameremo L ) e' divisibile per 5 e cio' scaturisce dalla premessa.
Per esempio se,fra le 4 possibilita', si sceglie la prima si ha:
$n=4k,3^(n)=3^(4k)=10N+1$ e dunque l'espressione in questione diventa:
$L=(10N+1+[1-2])/2=5N$ e cosi' negli altri casi.
karl

ficus2002
Propongo questa soluzione per c). Il problema equivale a provare che $3^n+(-)^(((n),(2)))-2^(n+1) \equiv 0 (mod 5)$
Si verifica che le successioni $3^n$, $(-)^(((n),(2)))=(-)^(n(n-1)/2)$ e $2^(n+1)$ sono successioni periodiche di periodo 4 in $ZZ_5$, in particolare:
per $n\equiv 0 (mod 4)$ è $3^n\equiv 3 (mod 5)$, $(-)^(((n),(2)))\equiv 1$ e $2^(n+1)\equiv 4 (mod 5)$
per $n\equiv 1 (mod 4)$ è $3^n\equiv 4 (mod 5)$, $(-)^(((n),(2)))\equiv -1$ e $2^(n+1)\equiv 3 (mod 5)$
per $n\equiv 2 (mod 4)$ è $3^n\equiv 2 (mod 5)$, $(-)^(((n),(2)))\equiv -1$ e $2^(n+1)\equiv 1 (mod 5)$
per $n\equiv 3 (mod 4)$ è $3^n\equiv 1 (mod 5)$, $(-)^(((n),(2)))\equiv 1$ e $2^(n+1)\equiv 2 (mod 5)$
si verifica quindi $3^n+(-)^(((n),(2)))-2^(n+1) \equiv 0 (mod 5)$ per ogni $n$.

Sk_Anonymous
Sintetica ed assai elegante !
karl

Thomas16
Il secondo non mi torna:

$R(a+b)=c*sqrt(ab)$

ovvero, chiamata S la superficie, usando che $R=(abc)/(4S)$,

$(a+b)*sqrt(ab)=4S$

ma $S=1/2ab*sen(\alpha)$, con $\alpha$ l'angolo compreso, da cui

$(a+b)*sqrt(ab)/(2ab)=sen(\alpha)$

e allora viste le limitazioni sul seno:

$(a+b)/(2sqrt(ab))<=1$, ovvero

$(a+b)/2<=sqrt(ab)$

ma la AG dice esattemente il contrario...

cosa c'è di sbagliato? Mi pare che simili triangoli non esistano... :evil:

ps: c'ho perso un bel pò di tempo oggi :!: :? ... quindi forse sono fuso... le dis non sono il mio forte, anzi...

Sk_Anonymous
C'e' un caso in cui quella diseguaglianza diventa possibile....
karl

Piera4
Ah karl... mi hai fregato!!!!
L'altra sera avevo notato che
$R=(csqrt(ab))/(a+b)<=c/2$, senza pensare che $R>=c/2$, quindi $2R=c$.
Il triangolo è rettangolo e isoscele :
$r/a=(a+a-sqrt(a^2+a^2))/(2a)=1-sqrt(2)/2<3/10$.

Thomas16
Si certo, ma un solo caso... mi sembrava più credibile un errore del testo del problema :? ... anche perchè il primo esercizio era molto più lineare (certo a vedere le cose come Piera è meglio che come le ho viste io...ma cmq..)...

va bè... osservato che a=b si può concludere facilmente...

ciao ciao!

Bruno13
Mi sembra che sia rimasto senza interventi il Quesito a.
Be'... intanto posto al volo (scrivo da un internet point)
i due appunti che mi sono annotato ;)

La cosa potrei dimostrarla così.

Prima parte.
Pongo x-y = a e riscrivo la relazione proposta:

3x²+x = 4(x-a)²+x-a ,

ossia, con pochi e immediati passaggi:

(x-4a)² = a(12a+1).

Qui vedo che i due fattori del membro destro sono
primi fra loro e pertanto, se è vera la relazione data,
|a| = |x-y| dev'essere un quadrato (e così pure |12a+1|)
e tuttavia a non può essere negativo perché altrimenti
il numero 4(-3a)-1 non sarebbe mai un quadrato (giusto
per escludere il caso in cui a e 12a+1 siano entrambi
negativi).
Non solo x-y è un quadrato, allora, ma anche 12x-12y+1
lo è.

Seconda parte.
In maniera simile, pongo x+y = b e riscrivo l'equazione
di Karl:

3x²+x = 4(b-x)²+b-x ,
x²-2(4b+1)x+4b²+b = 0.

Completo il quadrato e ottengo:

[x-(4b+1)]² = 12b²+7b+1 = (3b+1)(4b+1).

Qualsiasi divisore comune ai due fattori del membro
destro deve dividere b e quindi 1. Allora 3b+1 e 4b+1
sono primi fra loro, per cui |3(x+y)+1| e |4(x+y)+1|, se
vale la relazione data, devono essere dei quadrati.
Naturalmente, b non può essere negativo (e con esso
i due fattori al secondo membro) perché altrimenti i
numeri 3(-b)-1 e 4(-b)-1 non sarebbero mai quadrati.

Le proprietà indicate da Karl, dunque, non valgono solo
quando le variabili sono entrambe positive (come avviene
per x=-y=2, che soddisfano la relazione).

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