Strette di mano

[ElementareWatson]

Un gruppo di persone si incontra e ci sono delle strette di mano. Le persone che hanno stretto la mano un numero dispari di volte sono in numero pari.

[axpgn]

E quindi qual è la domanda?

È sempre così.
Supponi di avere un gruppo di $n$ persone che si incontrano.
Inizialmente nessuno a stretto la mano a nessuno ovvero tutti "stanno a zero" strette di mano.
Zero è un numero pari e io chiamo "pari" le persone che hanno stretto la mano un numero pari di volte e chiamo "dispari" gli altri.
Perciò inizialmente sono tutti "pari" e le persone "dispari" sono in numero pari (cioè zero).
Se due persone "pari" si stringono la mano diventano "dispari" entrambe quindi il numero delle persone "dispari" rimane pari.
Se due persone "dispari" si stringono la mano diventano "pari" entrambe quindi il numero delle persone "dispari" rimane pari.
Se una persona "dispari" stringe la mano ad una persona "pari" si scambiano il "ruolo" e rimane tutto come prima

Cordialmente, Alex

[ElementareWatson]

La domanda è quella, dimostrare che chi ha stretto un numero dispari di mani è in numero pari.

io ho fatto così:

Su \(\displaystyle n \) persone \(\displaystyle x \) hanno stretto un numero dispari \(\displaystyle D \) di mani, \(\displaystyle n-x \) un numero pari \(\displaystyle P \) dunque se chiamo \(\displaystyle S \) il numero di strette di mani si ha che \(\displaystyle 2S = \sum_{i=0}^{x-1}{D_i} + \sum_{i=0}^{n-x+1}{P_i}\) ma siccome il secondo addendo è sempre pari, si ha che \(\displaystyle x \) è pari.

[axpgn]

Mi pare giusto.

Cordialmente, Alex