Strana lista...

[giambax]

Scrivete la lista dei primi 2005 numeri interi : 1, 2, 3,….,
2005. Cancellate i primi due e scrivete la loro somma alla
fine della lista: 3,4, …, 2005, 3. Continuate così,
cancellando i primi due rimasti e riportando la loro somma
alla fine della lista: 5, 6, … 2005, 3, 7. Non stancatevi :
continuate allo stesso modo finche vi rimane un solo
numero.
Qual è la somma di tutti i numeri scritti, compresi
quelli iniziali?

[veciorik]

$ \text{circa} \quad (2005*(2005+1))/2*\ceil{\log_2 2005 } \quad ?$

[axpgn]

@veciorik
Credo che intenda la somma dei primi $2005$ e poi la somma dei mille rimasti e poi dei 500 e così via ... altrimenti è troppo facile ...

[veciorik]

Ok, l'ho capito appena scritto.
Mi hai anticipato mentre stavo correggendo, con una soluzione approssimata . . . che forse è anche esatta (molto a naso).

[axpgn]

Concordo con la soluzione approssimata ma vado in confusione quando cerco di calcolare quella esatta ...

EDIT: forse è questa ...

$24.046.868$

[orsoulx]

Alex, l'ultima è giusta, ma quella di prima l'ha mangiata il gatto?

$ 12\cdot((2006),(2))-2005-(2\cdot2005-3)-(8\cdot2005-52)-(32\cdot2005-848)=24046868 $

Ciao

[axpgn]

Cosa intendi con "l'ultima è giusta"? Quello è l'unico numero che ho scritto, ho messo un "EDIT" per evidenziare l'aggiunta che ho fatto ...

[orsoulx]

Perdonami Alex, ma tornato alle ore piccole da una cena conviviale, con un tasso alcolemico non basso, avevo letto la discussione. Stamattina, da sobrio, ho gabulato un po' per ottenere la soluzione. Non ricordavo l'EDIT e mi pareva che dopo il 24 ci fossero due zeri. Ho sbagliato.
Ciao

[veciorik]

$ \quad 11 * (2005*(2005+1))/2 \quad + \quad (1962*(1962+1))/2 \quad = \quad 24.046.868 $

in generale:

$ \quad k * ((n+1),(2))+((m+1),(2)) \quad $

dove $ \quad k = $ $ \ceil{\log_2 n} \quad $ corretto in: $ \quad 1 + \floor{ \log_2 n} \qquad $ e $ \qquad m = 2n-2^k \quad $ ossia $ \quad 2(n-2^{k-1}) $

[axpgn]

Notevole!
Ci spieghi come sei arrivato al secondo addendo?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Bellissima! Questo è il piacere della matematica: portare alla luce regolarità nascoste!
Grazie Rik
Ciao

[veciorik]

Ho corretto un errore nel messaggio precedente.
Qui mostro come sono arrivato alla formula magica.
Non è matematica rigorosa, ma la mia testa funziona così.

Prendo $n=13$.
Scrivo la lista su righe da 13 elementi ciascuna.
Scrivo gli addendi elementari invece del risultato delle addizioni.
La seconda riga ha coppie, la terza quartetti, la quarta ottetti, la quinta completa la composizione della lista.

[tex]\begin{matrix}
1& &2& &3& &4& &5& &6& &7& &8& &9& &10& &11& &12& &13& \\
1&+&2& &3&+&4& &5&+&6& &7&+&8& &9&+&10& &11&+&12& &13&+ \\
1&+&2& &3&+&4&+&5&+&6& &7&+&8&+&9&+&10& &11&+&12&+&13&+ \\
1&+&2& &3&+&4&+&5&+&6&+&7&+&8&+&9&+&10& &11&+&12&+&13&+ \\
1&+&2&+&3&+&4&+&5&+&6&+&7&+&8&+&9&+&10& \\
\end{matrix}[/tex]
Le prime quattro righe contengono tutti gli elementi e, quindi, contribuiscono al totale in ugual modo $(13*14)/2$.
L'ultima riga ha $m=10$ elementi quindi aggiunge $(10*11)/2$ al totale.
Noto che $m=10=2(13-8)=2*13-16$ dove $8$ e $16$ sono le potenze di 2 più vicine a $13$.
Scrivo in binario $n=13=1101$.
Ogni bit a 1, eccetto il primo, contribuisce all'ultima riga con $2^b$ elementi, dove $b$ vale 1, 2, 3, ... partendo da destra: in questo esempio $101$ aggiunge $2+8=10$ elementi.

Ciao orsolux e axpgn.
Rik

[orsoulx]

Bello anche il percorso! Fra l'altro si può estendere il tutto ad una qualsiasi progressione aritmetica finita.
Ciao

[jonnino2004]

credo sia la somma dei primi 2005 numeri

((2005 +1)*2005) / 2 = 2011015

corretto?

[giambax]

Grazie a tutti per le spiegazioni, non ho più risposto perchè sono stata occupata.