Strana equazione
Qualcuno sa risolvere il seguente problema?
Siano m,n due numeri naturali non nulli. Provare che l'equazione [tex]$ \frac{m}{n}+\frac{n+1}{m}=4 $[/tex] non ha soluzioni intere positive.
Siano m,n due numeri naturali non nulli. Provare che l'equazione [tex]$ \frac{m}{n}+\frac{n+1}{m}=4 $[/tex] non ha soluzioni intere positive.
Risposte
dobbiamo risolvere negli interi positivi $m^2-4mn+n^2+n=0$. Quindi il delta calcolato rispetto ad m deve essere un quadrato perfetto poichè m è naturale: $3n^2-n=k^2$ con k intero.
$3n^2-n=n(3n-1)$, e dato che n e 3n-1 sono coprimi tra loro ed entrambi maggiori di zero l'unica possibilità è che siano entrambi dei quadrati, quindi $n=a^2$ e $3n-1=b^2$.
Dalle precedenti 2 equazioni ricaviamo $3a^2-1=b^2$, e quest'ultima equazione è assurda modulo 4 perchè il lato sinistro è sempre congruo a 2 o 3 mentre il lato destro è sempre congruo a 0 o 1.
Segue che l'equazione iniziale non ha soluzione.
$3n^2-n=n(3n-1)$, e dato che n e 3n-1 sono coprimi tra loro ed entrambi maggiori di zero l'unica possibilità è che siano entrambi dei quadrati, quindi $n=a^2$ e $3n-1=b^2$.
Dalle precedenti 2 equazioni ricaviamo $3a^2-1=b^2$, e quest'ultima equazione è assurda modulo 4 perchè il lato sinistro è sempre congruo a 2 o 3 mentre il lato destro è sempre congruo a 0 o 1.
Segue che l'equazione iniziale non ha soluzione.
Grazie mille!
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