Stavolta solo polinomi...
[size=150]Sia P(x) un polinomio a radici tutte reali e distinte.
Dimostrare che il polinomio:
$[P'(x)]^2-P(x)*P''(x)$
non ha radici reali.
karl[/size]
Dimostrare che il polinomio:
$[P'(x)]^2-P(x)*P''(x)$
non ha radici reali.
karl[/size]
Risposte
Sinceramente non sono riuscito a dimostrare l'asserto, ma ho trovato una conseguenza al teorema proposto da karl:
sia $P(x)$ un polinomio a radici reali e distinte, allora la funzione razionale $(P(x))/(P'(x))$ è strettamente monotona crescente nel suo dominio
Dimostrazione:
Ipotizziamo che $P(x)$ sia un polinomi di grado $n$.
Affinché $[P'(x)]^2-P(x)*P''(x)$ non abbia zeri reali, occorre che tale funzione sia sempre positiva oppure sempre negativa.
In verità questa funzione (che in realtà è un polinomio di grado $2n-2$) non può essere sempre negativa poiché esistono almeno $n$ punti (gli zeri di $P(x)$) in cui è positiva, in quanto in tali punti il termine $P(x)*P''(x)$ è nullo mentre il termine $[P'(x)]^2$ è sicuramente positivo.
Notiamo che la derivata prima della funzione $(P(x))/(P'(x))$ è $([P'(x)]^2-P(x)*P''(x))/[P'(x)]^2$. Studiando il segno di questa funzione razionale fratta notiamo che il denominatore è sempre positivo nell'insieme di definzione. Occorre dunque studiare solo il segno del numeratore, ma se esso è sempre positivo (come dice il teorema di karl) allora la funzione $(P(x))/(P'(x))$ è strettamente monotona crescente nel suo dominio
A dire il vero, un polinomio di grado $n$ con $n$ zeri reali e distinti ha esattamente $n-1$ estremi relativi, che sono tutti e soli i punti in cui la sua derivata prima si annulla, quindi la derivata prima del polinomio è un nuovo polinomio di grado $n-1$ e ha $n-1$ zeri reali e distinti (cioè tutti i suoi zeri sono reali e distinti).
Da ciò e dal teorema esposto da karl segue il risultato più generale:
sia $P(x)$ un polinomio di grado $n$ a radici reali e distinte, allora il rapporto tra la derivata di ordine $k$ del polinomio e la derivata di ordine $k+1$ ($k={0,1,2,3,...,n-1}$) è una funzione strettamente monotona crescente nel suo dominio
sia $P(x)$ un polinomio a radici reali e distinte, allora la funzione razionale $(P(x))/(P'(x))$ è strettamente monotona crescente nel suo dominio
Dimostrazione:
Ipotizziamo che $P(x)$ sia un polinomi di grado $n$.
Affinché $[P'(x)]^2-P(x)*P''(x)$ non abbia zeri reali, occorre che tale funzione sia sempre positiva oppure sempre negativa.
In verità questa funzione (che in realtà è un polinomio di grado $2n-2$) non può essere sempre negativa poiché esistono almeno $n$ punti (gli zeri di $P(x)$) in cui è positiva, in quanto in tali punti il termine $P(x)*P''(x)$ è nullo mentre il termine $[P'(x)]^2$ è sicuramente positivo.
Notiamo che la derivata prima della funzione $(P(x))/(P'(x))$ è $([P'(x)]^2-P(x)*P''(x))/[P'(x)]^2$. Studiando il segno di questa funzione razionale fratta notiamo che il denominatore è sempre positivo nell'insieme di definzione. Occorre dunque studiare solo il segno del numeratore, ma se esso è sempre positivo (come dice il teorema di karl) allora la funzione $(P(x))/(P'(x))$ è strettamente monotona crescente nel suo dominio
A dire il vero, un polinomio di grado $n$ con $n$ zeri reali e distinti ha esattamente $n-1$ estremi relativi, che sono tutti e soli i punti in cui la sua derivata prima si annulla, quindi la derivata prima del polinomio è un nuovo polinomio di grado $n-1$ e ha $n-1$ zeri reali e distinti (cioè tutti i suoi zeri sono reali e distinti).
Da ciò e dal teorema esposto da karl segue il risultato più generale:
sia $P(x)$ un polinomio di grado $n$ a radici reali e distinte, allora il rapporto tra la derivata di ordine $k$ del polinomio e la derivata di ordine $k+1$ ($k={0,1,2,3,...,n-1}$) è una funzione strettamente monotona crescente nel suo dominio
Interessante complemento al quesito.In germe contiene anche
la soluzione del problema;infatti basta osservare che:
$(P'(x))/(P(x))=sum_(k=1)^n1/(x-x_k)$
dove n e' il grado di P(x) e $x_k,k=1,2...,n$ sono gli zeri del
polinomio.
Derivando ancora....
karl
la soluzione del problema;infatti basta osservare che:
$(P'(x))/(P(x))=sum_(k=1)^n1/(x-x_k)$
dove n e' il grado di P(x) e $x_k,k=1,2...,n$ sono gli zeri del
polinomio.
Derivando ancora....
karl
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