Somme

[axpgn]

Il maestro chiese alle sue alunne di pensare un numero di quattro cifre.
"Adesso spostate la prima cifra del numero pensato in fondo ad esso e sommate i due numeri.
Per esempio $1234+2341=3575$.
Ditemi il risultato".

Gioia: $8612$
Gloria: $4322$
Tonia: $9867$
Maria: $13859$

"Avete tutte sbagliato tranne Tonia"

Perché il maestro dice questo?


Cordialmente, Alex

[superpippone]

Perché, tra tutti i risultati dati, solo $9.867$ è divisibile per $11$

[axpgn]

Ok, però ...

Perché quelli non divisibili per $11$ non vanno bene? Cioè dimostralo ...

Cordialmente, Alex

[dan952]

Risparmio la fatica a superpippone...

Siano $n=a_3\cdot 10^3 +a_2\cdot 10^2+a_1\cdot 10+a_0$ e $n'=a_2\cdot 10^3 +a_1\cdot 10^2+a_0\cdot 10+a_3$ chiarimento raccogliendo a fattor comune gli $a_i$ si ottengono coefficienti divisibili per $11$.

[curie88]

Come hanno già risposto:

Se si sommano i due numeri:
$n_1 = 1000a+100b+10c+d$
$n_2 = 1000b+100c+10d+a$

si ottiene:
$n_3 = 1001a+1100b+110c+11d$

cioè:
$n_3 = 11(91a+100b+10c+d)$
che è divisibile per $11$.

I coefficienti sono:
$a = 9, b = 0, c = 7, d = 8$

il numero pensato è quindi: $9078$

infatti...:
$9078 + 0789 = 9867$

Ciao

[marmi1]

o 8169?

Ciao,
Marmi

[axpgn]

What? Cosa vorresti dire? Non ho capito ...

[marmi1]

che Tonia potrebbe aver pensato diversi numeri.

[axpgn]

Forse non ti è chiaro il problema ... il maestro chiede alle alunne di eseguire alcune operazioni e poi chiede loro il risultato di queste operazioni; in base a questo fatto (il risultato) il maestro è in grado di capire che solo Tonia ha eseguito correttamente quello che lui ha richiesto, le altre no. La domanda è: in base a "cosa" il maestro può fare tale affermazione?

[curie88]

"marmi":

o 8169?

Ciao @marmi , hai ragione...non so perché, ma avevo escluso a priori tutte le cifre che non iniziavano con $9$.
è infatti vero che $8169 + 1698 = 9867$.
Ci sono più soluzioni come mi fai notare, esattamente $9$:
$1806+8061 = 9867$
$2715+7152 = 9867$
$3624+6243 = 9867$
$4533+5334 = 9867$
$5442+4425 = 9867$
$6351+3516 = 9867$
$7260+2607 = 9867$
$8169+1698 = 9867$
$9078+789 = 9867$

[curie88]

"axpgn":Forse non ti è chiaro il problema ...

Ciao @axpgn, mi è chiaro il problema, se ti riferisci a me:
naturalmente dato che $n_3$, (vedi sopra) è un multiplo di $11$, e lo è anche solo il $9867$ tra quelli riferiti dalle alunne al maestro; il numero $9867$ è la sola risposta esatta tra le $4$; come appunto ha già detto superpippone.
Ciao.

[axpgn]

No, mi riferivo a marmi il quale, l'ho capito solo ora, si rivolgeva a te ...