Somma di numeri primi

[Drazen77]

Ci sono $168$ numeri primi inferiori a $1000$.
Qual è la loro somma?
A) $11569$
B) $76127$
C) $57298$
D) $81744$

La vera domanda è:

Che ragionamento si può fare per capire qual è la soluzione giusta tra le quattro proposte?

[axpgn]

Non so quale sia la risposta ma io risponderei la B) perché solo $2$ è pari quindi la somma di $167$ numeri dispari è dispari mentre $11659$ diviso $168$ è minore di $100$, valore medio troppo basso. IMHO

Cordialmente,

[otta96]

Se sono $168$ numeri minori di $1000$, può la somma essere più di $168000$?

[Quinzio]

I primi sono tutti dispari tranne il 2, quindi abbiamo un pari e 167 dispari da sommare.
I 167 dispari danno un dispari, che sommato al pari da un dispari.
Quindi i candidati sono
1) 11569
2) 76127

Se i primi fossero distribuiti uniformemente, la loro somma darebbe 168/2 * 1000 = 84000 circa.
Ma in un intervallo, i primi sono concentrati verso i numeri bassi.
Quindi sia il candidato 1) che il 2) andrebbero bene, perche' sono sotto la distribuzione uniforme.
Il 76127 mi sembra troppo vicino alla distr. uniforme.

Quindi tra i due, il piu' adatto mi sembra il 1) 11567
ps. risposta sbagliata

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ci sono $25$ primi da $1$ a $100$, quindi la somma dei $168$ primi da $1$ a $1000$ è maggiore di $100(168-25)=14300$.

[Drazen77]

Una volta eliminati $C$ e $D$ (perché sono pari), dobbiamo capire quale non va bene tra $A$ e $B$

Non sappiamo quale sia la somma dei primi $168$ numeri primi, ma possiamo calcolare la somma dei numeri da $1$ a $168$ con questa formula: $(n(n+1))/2=(168(168+1))/2=14196$, che è un numero superiore ad $A$, quindi la somma dei primi $168$ numeri primi è un numero sicuramente superiore a questo.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Quella di Drazen è la mia preferita.

Per il teorema dei numeri primi abbiamo che \(n\)-esimo numero primo \(p_n\) è asintotico a \( n \log n \) pertanto calcolerei
\[\sum_{n=1}^{168} p_n = \sum_{n=1}^{168} n \log n + E \approx 65'000 + E \]
E siccome l'errore soddisfa
\[7'000 \approx \sum_{n=2}^{168} (n \log \log n-n) < E < \sum_{n=2}^{168} n \log \log n \approx 21'000 \]
la \(D\) e la \(B\) sono le uniche in questo range, ma la \(D\) è pari e va esclusa, pertanto è la \(B\)