Sistema di equazioni irrazionali dai Giochi d'autunno 2009
la figlia tredicenne(!) di un mio amico mi ha sottoposto
questo sistema di equazioni irrazionali tratto da una
serie di quiz dei Giochi d'autunno 2009.
Né io né i suoi genitori siamo riusciti a risolverlo
ed ora chiedo aiuto a questo forum.
Le 3 equazioni sono:
$\{(x=y+root(3)(z)),(y=z+14+root(3)(x)),(z=root(3)(x)+sqrt(y)) :} $
Ringrazio fiducioso
p.s.
la bimba terribile non ha la soluzione
questo sistema di equazioni irrazionali tratto da una
serie di quiz dei Giochi d'autunno 2009.
Né io né i suoi genitori siamo riusciti a risolverlo
ed ora chiedo aiuto a questo forum.
Le 3 equazioni sono:
$\{(x=y+root(3)(z)),(y=z+14+root(3)(x)),(z=root(3)(x)+sqrt(y)) :} $
Ringrazio fiducioso
p.s.
la bimba terribile non ha la soluzione
Risposte
Scritto così, è difficile trovare una soluzione.
Mi sono andato a rileggere il testo dell'esercizio, che recita:
Il testo dà importanti informazioni aggiuntive.
$x,y, z$ rappresentano delle età, pertanto sono tutti e tre numeri interi positivi ( o al limite uguali a $0$).
Detto ciò, possiamo esaminare il problema con un altro occhio:
$\{(x=y+root(3)(z)),(y=z+14+root(3)(x)),(z=root(3)(x)+sqrt(y)) :} $
Dalla prima equazione deduciamo che $x>=y$ e dalla seconda che $y>z$. Pertanto $0<=z
Anche $x$ deve essere un cubo perfetto, mentre $y$ deve essere un quadrato perfetto.
Andiamo per tentativi su $z$ (che deve essere un cubo perfetto):
1) $z=0$: ${(x=y),(y=14+root3 y),(0=root3 x+sqrt y):}$
che non ha soluzioni intere positive (l'utima equazione è impossibile se $x,y>0$)
$z=0$ non va bene
2) $z=1$: ${(x=y+1),(y=15+root3 x),(1=root3 x +sqrty):}$
Dalla prima e terza equazione discende che $x=1$, $y=0$, che però non verifica la seconda.
Nemmeno $z=1$ va bene, dunque.
3) $z=8$: ${(x=y+2),(y=22+root3 x),(2=root3 x +sqrty):}$
Facendo opportune valutazioni, provando anche un po' per tentativi,
si ottiene ${(x=27),(y=25):}$
Ecco la soluzione: ${(x=27),(y=25),(z=8):}$
Mi sono andato a rileggere il testo dell'esercizio, che recita:
L’età di Nando è uguale a quella di Debora aumentata della radice cubica dell’età di Jacob.
Quella di Debora è uguale all’età di Jacob aumentata di 14 e della radice cubica dell’età di Nando.
Quella di Jacob è uguale alla radice cubica dell’età di Nando aumentata della radice quadrata dell’età di Debora.
Quanti anni ha Nando?
Il testo dà importanti informazioni aggiuntive.
$x,y, z$ rappresentano delle età, pertanto sono tutti e tre numeri interi positivi ( o al limite uguali a $0$).
Detto ciò, possiamo esaminare il problema con un altro occhio:
$\{(x=y+root(3)(z)),(y=z+14+root(3)(x)),(z=root(3)(x)+sqrt(y)) :} $
Dalla prima equazione deduciamo che $x>=y$ e dalla seconda che $y>z$. Pertanto $0<=z
Anche $x$ deve essere un cubo perfetto, mentre $y$ deve essere un quadrato perfetto.
Andiamo per tentativi su $z$ (che deve essere un cubo perfetto):
1) $z=0$: ${(x=y),(y=14+root3 y),(0=root3 x+sqrt y):}$
che non ha soluzioni intere positive (l'utima equazione è impossibile se $x,y>0$)
$z=0$ non va bene
2) $z=1$: ${(x=y+1),(y=15+root3 x),(1=root3 x +sqrty):}$
Dalla prima e terza equazione discende che $x=1$, $y=0$, che però non verifica la seconda.
Nemmeno $z=1$ va bene, dunque.
3) $z=8$: ${(x=y+2),(y=22+root3 x),(2=root3 x +sqrty):}$
Facendo opportune valutazioni, provando anche un po' per tentativi,
si ottiene ${(x=27),(y=25):}$
Ecco la soluzione: ${(x=27),(y=25),(z=8):}$
conclusione:
ho cercato l'approccio "di forza" ed ho sbattuto il muso.
Occorreva usare l'astuzia
grazie
ho cercato l'approccio "di forza" ed ho sbattuto il muso.
Occorreva usare l'astuzia
grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo