Sistema da sistemare

[FreddyKruger]

Quanti sono i sistemi del tipo:
$-x^my^n=1$
$-x^py^q=2011$
(con $m, n, p$ e $q$ interi strettamente positivi) che hanno grado 144 e non hanno soluzioni reali?
(si ricordi che il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono)

[UmbertoM1]

Ragioniamo:
Se $(m^^n)vv(p^^q)$ sono pari, il sistema non ha soluzioni (si avrebbe un quadrato perfetto negativo).
Hai affermato che il grado del sistema è 144. Di conseguenza $(m+n)vv(p+q)=144$.
Consideriamo il caso in cui sia p+q=144, si noti che esistono 143 coppie (p;q) che soddisfano questa condizione.
Se $m=2$, $n$ può assumere 71 (2,4,6,8...,142) diversi valori che rendono il sistema privo di soluzioni. Se m=4 i valori sono 70.
$(1+2+..+71)=71*36$. Perciò i possibili sistemi sono $143*71*36$
Consideriamo ora il caso che sia (m+n)=144 Anche in queso caso esistono 143 coppie (m;n).
Il procedimento è lo stesso di prima, però dobbiamo stare attenti a non conteggiare due volte i casi in cui sia (m+n) che (p+q) sono uguali a 144. Di conseguenza pe $p=2$ ci sono 70 possibili valori di $q$ da considerare. per $p=4$ 69 possibili $q$.
(1+2+..+70)=71*35. Perciò i posssibili sistemi sono $143*71*35$
Sommando i due risultati ottenuti, si ha $143*71^2$.

Tuttavia il sistema non ha soluzioni reali anche nel caso in cui $m:n=p:q$
Infatti se $x^my^n=-1$, supponendo p=km ed n=kq, si avrebbe $(x^my^n)^k=-2011$, mentre sappiamo che dovrebbe essere uguale a 1 o -1.
Apprestiamoci dunque a considerare i casi in cui è valida questa proporzione, stando bene attenti però a non riconsiderare i casi in cui entrambi gli esponenti sono pari.
Consideriamo il caso in cui (m+n)=144
per (m;n)=(1;143) esiste un solo possibile sistema senza soluzioni.
per (m;n)=(3;141) esistono 2 possibili sistemi Se (p;q)=(1;47) (p;q)=(3;141).
per (m;n)=(5;139) esiste un solo possibile sistema senza soluzioni.
per (m;n)=(7;137) esiste un solo possibile sistema senza soluzioni.
per (m;n)=(9;135) esistono 3 possibili sistemi (p;q)=(1;15) (3;45) (9;135)
per (m;n)=(11;133) esiste un solo possibile sistema senza soluzioni
per (m;n)=(13;131) esiste un solo possibile sistema senza soluzioni
per (m;n)=(15;129) esistono 2 sistemi
Si osservi che esiste piu di un sistema solo per multipli di 3 (esistono 2 sistemi) e per multipli di 9 (ce ne sono 3).
per m=3,15,21,33,39,51,57,69 ci sono due soluzioni, per m=9,27,45,63 ce ne sono 3
da m=1 a m=71 ci sono 36+8+8=52 sistemi. Specularmente da m=73 a m=143 ce ne sono altrettanti, per un totale di 104 sistemi
Consideriamo ora il caso in cui (p+q)=144
Non contando due volte i sistemi in cui si ha che p=m e q=n, i sistemi da considerare sono solo $16*2=32$.

Perciò alla fine di questa dimostrazione/poema, io affermo che i sistemi totali sono $143*71^2+136$.

[UmbertoM1]

Tra l'altro questo numero fa 720999, ho paura di aver sbagliato di 1 XD

[UmbertoM1]

Edit:
Ho commesso un errore grossolano. Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono, non il grado dell'equazione con il grado piu alto.
Se il grado è 144, allora il prodotto dei gradi delle due equazioni è 144.
$144=2^4*3^2$
Supponiamo che il grado della prima equazione sia 1. In questo caso non esiste nessun sistema, perché uno tra $m$ ed $n$ dovrebbe essere nullo, e per ipotesi sono >0.
Supponiamo che il grado della prima equazione sia 2. Necessariamente $m=n=1$
$p+q=72$ Per quanto detto nel post precedente, se $p$ e $q$ sono pari, o $m:n=p:q$ il sistema non ha soluzioni.
Esistono 35 possibili sistemi. $(p;q)=(2;86),(4;84);...(86;2)$ N.B. non si conta die volte (36;36)

Supponiamo che il grado della prima equazione sia 3. $m+n=3$ $p+q=48$
Esistono 2 possibili coppie tali che $m+n=3$
esistono inoltre 23 coppie (p;q) tali che p e q sono pari. Perciò i possibili sistemi sono 2*23=46 non si contano due volte (16;32) e (32;16)

Supponiamo che il grado della prima sia 4. Il grado della seconda è 36. $m+n=4$ $p+q=36$
Se $(m;n)=(1;3)$
Esistono 17 sistemi con p e q pari. Ma anche se (p;q)=(9;27) il sistema non ha soluzioni, quindi i sistemi da considerare sono 18.
Se $(m;n)=(3;1)$ sono allo stesso modo 18, si invertono solo $m$ ed $n$
Se $(m;n)=(2;2)$ i sistemi sono 35 (infatti m e n sono pari!). In totale quindi 71.

Supponiamo che il grado della prima sia 6. Il grado della seconda è 24
Se $(m;n)=(1;5)$ Ci sono 11 possibili sistemi, ugualmente per $(5;1)$ tot 22
Se $(m;n)=(2;4)$ ci sono 23 sistemi, ugualmente per (4;2), tot 46
Se $(m;n)=(3;3)$ Ci sono 11 possibili sistema
In questo caso i sistemi totali sono 79.

Supponiamo che il grado della prima sia 8, il grado della seconda è 18.
Per (m;n)=(1;7) ci sono 8 possibili sistemi, come (7;1), tot 16
Per (m;n)=(2;6) ci sono 17 sistemi come per (6;2), tot 34
Per (m;n)=(3;5) ci sono 8 sistemi come per (5;3), tot 16
per (m;n)=(4;4) ci sono 17 sistemi.
In questo caso ci sono 83 sistemi

Supponiamo che il grado sia 9, quello della seconda 16
Per (m;n)=(1;8) ci sono 7 possibili sistemi, come (8;1), tot 14
Per (m;n)=(2;7) ci sono 7 possibili sistemi, come (7;2), tot 14
Per (m;n)=(3;6) ci sono 7 possibili sistemi, come (6;3), tot 14
Per (m;n)=(4;5) ci sono 7 possibili sistemi, come (5;4), tot 14
56 possibili sistemi in questo caso

FIN QUI I SISTEMI TROVATI SONO 35+46+71+79+83+56=370 Si osserva che lo stesso numero di sistemi si trova per valori (m+n) maggiori di 12 che dividono 144, infatti in questo caso sarebbero i valori (p+q)=2,3,4,6,8,9. $373*2=746$

Consideriamo ora il caso in cui (m+n)=(p+q)=12
Per (m;n)=(1;11) ci sono 6 possibili sistemi, 5 con p;q pari + (p;q)=(1;11). Lo stesso per (m;n)=(11;1), tot 12
Per (m;n)=(2;10) ci sono 11 possibili sistemi, lo stesso per (4;8),(6;6),(8;4),(10;2), tot 55
Si osserva poi che per (m;n)=(3;9),(5;7),(7;5),(9;3) ci sono 6 possibili sistemi, tot 24
In quest'ultimo caso, i sistemi sono 91

Sommando tutti i possibili casi sono $746+91=835$ i possibili diversi sistemi.