Sin1°
Dimostrare che sin1° e' un numero algebrico.
karl
karl
Risposte
"karl":
Dimostrare che sin1° e' un numero algebrico.
karl
Dunque radice di una equazione algebrica ?
Certo,radice di un'equazione algebrica a coefficienti interi.
karl
karl
Sì, Camillo, penso che Karl intenda dire
che sen 1° dev'essere una radice di
un'equazione polinomiale a coefficienti
interi.
Se non sbaglio, mi sembra di aver già visto
su questo forum un problema simile (forse
proprio lo stesso) e ricordo abbastanza bene
il tipo di soluzione proposta da un partecipante
(anche se risale a un periodo in cui ancora
non vi frequentavo).
Credo sia istruttivo, comunque, riconsiderare
questo bel problema.
Edit: Ops... mi sono accorto solo adesso del
chiarimento di Karl (sorry).
che sen 1° dev'essere una radice di
un'equazione polinomiale a coefficienti
interi.
Se non sbaglio, mi sembra di aver già visto
su questo forum un problema simile (forse
proprio lo stesso) e ricordo abbastanza bene
il tipo di soluzione proposta da un partecipante
(anche se risale a un periodo in cui ancora
non vi frequentavo).
Credo sia istruttivo, comunque, riconsiderare
questo bel problema.
Edit: Ops... mi sono accorto solo adesso del
chiarimento di Karl (sorry).
Propongo questa soluzione, anche se è brutta.
$cos60=1/2$, quindi è algebrico. Per le formule di duplicazione, è $cos60=2cos^2 30-2$, di conseguenza $cos 30$ è algebrico. Analogamente, per le formule di triplicazione e quintuplicazione, si deduce che $cos 10$ e $cos 2$ sono algebrici.
Infine, per le formule di bisezione, è $sin^2 1=(1-cos 2)/2$, pertanto anche $sin^2 1$ è algebrico e, di conseguenza anche $sin1$.
$cos60=1/2$, quindi è algebrico. Per le formule di duplicazione, è $cos60=2cos^2 30-2$, di conseguenza $cos 30$ è algebrico. Analogamente, per le formule di triplicazione e quintuplicazione, si deduce che $cos 10$ e $cos 2$ sono algebrici.
Infine, per le formule di bisezione, è $sin^2 1=(1-cos 2)/2$, pertanto anche $sin^2 1$ è algebrico e, di conseguenza anche $sin1$.
Mi sembra una buona soluzione che arriva allo scopo.
La mia e' basata sul seguente sviluppo:
$(cos1°+jsin1°)^(180)=[cos((pi)/(180))+jsin((pi)/(180))]^180=-1$
Sviluppando con Newton ed eguagliando le parti reali si trova
un'equazione algebrica in sin1°
karl
La mia e' basata sul seguente sviluppo:
$(cos1°+jsin1°)^(180)=[cos((pi)/(180))+jsin((pi)/(180))]^180=-1$
Sviluppando con Newton ed eguagliando le parti reali si trova
un'equazione algebrica in sin1°
karl
Posto la mia basata sull'induzione che permette di generalizzare il risultato.
1) Si verifica facilmente che se $sin \alpha$ è non algebrico lo è anche $cos \alpha$ (data l'identità fondamentale della trigonometria)
2) ipotesi per assurdo posto $\alpha=1°$ : $sin \alpha$ non algebrico
3) ma allora ( essendo $sin((n+1)\alpha)=sin(n\alpha)cos(\alpha)+sin(\alpha)cos(n\alpha)$) $sin(n\alpha)$ non algebrico implica $sin((n+1)\alpha)$ non algebrico
4) per induzione: tutti i valori $sin(n\alpha)$ con $n \in N$ sono non algebrici
Il 4 è evidentemente falso (basta considerare per esempio $n=90$).
Credo che in questo modo si possa dimostrare che è algebrico anche
$sin(q\pi)$ per ogni $q$ razionale (nel problema di Karl $q=1/90$).
ciao
1) Si verifica facilmente che se $sin \alpha$ è non algebrico lo è anche $cos \alpha$ (data l'identità fondamentale della trigonometria)
2) ipotesi per assurdo posto $\alpha=1°$ : $sin \alpha$ non algebrico
3) ma allora ( essendo $sin((n+1)\alpha)=sin(n\alpha)cos(\alpha)+sin(\alpha)cos(n\alpha)$) $sin(n\alpha)$ non algebrico implica $sin((n+1)\alpha)$ non algebrico
4) per induzione: tutti i valori $sin(n\alpha)$ con $n \in N$ sono non algebrici
Il 4 è evidentemente falso (basta considerare per esempio $n=90$).
Credo che in questo modo si possa dimostrare che è algebrico anche
$sin(q\pi)$ per ogni $q$ razionale (nel problema di Karl $q=1/90$).
ciao
...
Bell'idea, Mirco!
Mi piace molto anche il metodo di Karl.
Mentre io ero un po' condizionato dalla
risoluzione che, qualche tempo fa, ho letto
in un altro post di questo forum (simile
a quella di Ficus: complimenti anche a lui)
e non sono riuscito a trovare qualcosa di
diverso.
Bell'idea, Mirco!
Mi piace molto anche il metodo di Karl.
Mentre io ero un po' condizionato dalla
risoluzione che, qualche tempo fa, ho letto
in un altro post di questo forum (simile
a quella di Ficus: complimenti anche a lui)
e non sono riuscito a trovare qualcosa di
diverso.
"mirco59":
Posto la mia basata sull'induzione che permette di generalizzare il risultato.
1) Si verifica facilmente che se $sin \alpha$ è non algebrico lo è anche $cos \alpha$ (data l'identità fondamentale della trigonometria)
2) ipotesi per assurdo posto $\alpha=1°$ : $sin \alpha$ non algebrico
3) ma allora ( essendo $sin((n+1)\alpha)=sin(n\alpha)cos(\alpha)+sin(\alpha)cos(n\alpha)$) $sin(n\alpha)$ non algebrico implica $sin((n+1)\alpha)$ non algebrico
4) per induzione: tutti i valori $sin(n\alpha)$ con $n \in N$ sono non algebrici
Il 4 è evidentemente falso (basta considerare per esempio $n=90$).
Credo che in questo modo si possa dimostrare che è algebrico anche
$sin(q\pi)$ per ogni $q$ razionale (nel problema di Karl $q=1/90$).
ciao
Bella soluzione
, solo una domandina:È necessario nel punto 3) premettere "$sin((n+1)\alpha)=sin(n\alpha)cos(\alpha)+sin(\alpha)cos(n\alpha)$" e dire "$sin(n\alpha)$ non algebrico implica $sin((n+1)\alpha)$ non algebrico" per arrivare al punto 4? Non bastava dire che se $sin(alpha)$ non è algebrico allora neanche $sin(n\alpha)$ lo è (e poi l'assurdo)?
Ma in questo modo evito di calcolare e di analizzare l'espressione $sin(n \alpha)$ per $n$ generico facendo fare il lavoro sporco (algebrico) al principio di induzione (visto che lo fa benissimo essendo il suo mestiere tipico)
ciao
ciao
Si ma se $sin(alpha)$ non è algebrico, allora non dovrebbe esserlo neanche $sin$ di un qualsiasi multiplo di $alpha$ ... o no?
Più che altro secondo me il passaggio che hai eseguito (che è davvero carino ) è trascurabile xke non necessario ... correggetemi se sbaglio 
Più che altro secondo me il passaggio che hai eseguito (che è davvero carino
) è trascurabile xke non necessario ... correggetemi se sbaglio
"Aethelmyth":
Si ma se $sin(alpha)$ non è algebrico, allora non dovrebbe esserlo neanche $sin$ di un qualsiasi multiplo di $alpha$ ... o no?
Volevo evitare l'uso del condizionale (che non dovrebbe esserci nelle dimostrazioni)
"Aethelmyth":
Più che altro secondo me il passaggio che hai eseguito (che è davvero carino
Non so se posso correggerti .... a me sembrava necessario, ma se tu vedi un'evidenza diretta in quella implicazione può darsi che tu abbia ragione. Magari spiegacela!
ciao
Ma io volevo solo capire se, per lo stesso motivo x cui tutti i multipli di $sqrt(n)$ (per n non quadrato perfetto) sono irrazionali potevo dire lo stesso dei non algebrici ... ora che mi sono letto bene i non algebrici credo di aver sbagliato
Anche se effettivamente è praticamente automatica la tua soluzione, infatti $sin(nalpha)$ posso scriverlo anche come $sin(alpha+nalpha)$ e poi i passaggi successivi ...
[EDIT II]Ok ho capito che il mio intervento era molto stupido, mirco59 ha solo mostrato come $sin(nalpha)$ è multiplo di $sin(alpha)
Anche se effettivamente è praticamente automatica la tua soluzione, infatti $sin(nalpha)$ posso scriverlo anche come $sin(alpha+nalpha)$ e poi i passaggi successivi ...
[EDIT II]Ok ho capito che il mio intervento era molto stupido, mirco59 ha solo mostrato come $sin(nalpha)$ è multiplo di $sin(alpha)
Forse ho capito l'equivoco: $\sin (n \alpha)$ non è multilplo di $sin \alpha$, è però da esso ottenibile con operazioni algebriche!
E' inoltre evidente che se $t$ è non algebrico lo sia anche $nt$ per ogni $n$ intero non nullo.
ciao
E' inoltre evidente che se $t$ è non algebrico lo sia anche $nt$ per ogni $n$ intero non nullo.
ciao
ho capito ora tutta l'induzione ... penso di dovermi ritirare, se mi perdo in certe cose
"Aethelmyth":
:roll: ho capito ora tutta l'induzione ... penso di dovermi ritirare, se mi perdo in certe cose
stai scherzando suppongo
Se mi fossi ritirato del 1% tutte lo volte che ho avuto una svista ... ora sarei un quark!
ciao
... è solo che spesso mi capita di fare cavolate ... forse la cosa più grave è che di solito mi faccio scoraggiare.Il bello è che spero di entrare alla Normale di Pisa
per aspera ad astra
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