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Sia $ M_n $ lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine n ( con elementi reali) e si consideri l'applicazione :
$ f : M_n $ ---> $ R^n $
che associa a ogni matrice $ A in M_n $ la sua diagonale principale :
$ f(A) = ( a_11,a_22,.....,a_(n n) ) $.
Verificare che f è un'applicazione lineare e determinare :
dim Im f e una base
dim Ker f e una base.
$ f : M_n $ ---> $ R^n $
che associa a ogni matrice $ A in M_n $ la sua diagonale principale :
$ f(A) = ( a_11,a_22,.....,a_(n n) ) $.
Verificare che f è un'applicazione lineare e determinare :
dim Im f e una base
dim Ker f e una base.
Risposte
è lineare...
è surjettiva...
va a finire in $0\inR^n$ uno spazio di dimensione $n^2-n$...
le basi sono i soliti uni e i soliti zeri piazzati opportunamente
è surjettiva...
va a finire in $0\inR^n$ uno spazio di dimensione $n^2-n$...
le basi sono i soliti uni e i soliti zeri piazzati opportunamente
La concisione 
della risposta di ubermensch mi dà l’occasione per una risposta più articolata che spero almeno qualcuno riesca a leggere fino in fondo 
.
L’applicazione f agisce sulle matrici ( nxn) ( lo spazio di partenza è quindi : $ M_n $ ) e dà come risultato il vettore degli elementi della diagonale ( spazio di arrivo : $ R^n$).
Ad esempio se : $A = ((1,3,5),(2,4,6),(8,9,10 )) $ allora f(A) = (1,4,10) .
* Linearità.
E’ facile controllare che le condizioni di linearità :
f(A+B) = f(A) +f(B)
f(kA) = kf(A)
sono verificate (essendo A,B due matrici (nxn) e k un numero reale).
Infatti se si sommano 2 matrici, si sommano anche gli analoghi elementi
delle 2 diagonali ; se si moltiplica per k una matrice , anche gli elementi della diagonale vengono moltiplicati per k.
* Dim Ker f
Si chiede di determinare la dimensione del sottospazio Ker f : esso è sottospazio di $ M_n $ ed è per definizione , la controimmagine del vettore nullo (0,0,0….,0) dello spazio di arrivo , cioè di $R^n $ .
Quali matrici avranno come trasformato mediante l’applicazione f il vettore nullo di $R^n$ ?.
Tutte le matrici con diagonale ad elementi tutti nulli. Qual è la dimensione del sottospazio delle matrici ( nxn ) con diagonale nulla ?
Una matrice (nxn) ha $ n^2 $ elementi ; ma nel caso specifico gli elementi della diagonale principale sono già noti in quanto tutti nulli e sono in quantità di n.
Allora Dim Ker f = $n^2-n$ ; l’applicazione non è iniettiva .
Esempio per n = 3.
Dim Ker f = 6
Una base di Ker f è data dalle seguenti 6 matrici :
$((0,1,0),(0,0,0),(0,0,0)) $ ; $ ((0,0,1),(0,0,0),(0,0,0)) $
$((0,0,0),(1,0,0),(0,0,0)) $ ; $ ((0,0,0),(0,0,1),(0,0,0)) $
$((0,0,0),(0,0,0),(1,0,0)) $ ; $ ((0,0,0),(0,0,0),(0,1,0))$
Le combinazioni lineari di queste matrici daranno tutte le matrici (3x3) che compongono Ker f .
*Dim Im f
L’immagine della applicazione lineare f è costituita dal vettore riga di n elementi fra loro indipendenti e quindi la Dimensione dell’immagine di f è : n.
Poiché n è anche la dimensione dello spazio di arrivo ($R^n$) , l’applicazione è suriettiva .
Una base di Im f ( n=3) è ovviamente data ad es. da :
$(1,0,0) ; (0,1,0) ;(0,0,1) $.
*Verifica delle dimensioni dei sottospazi Ker f , Im f .
Il teorema delle dimensioni ci assicura che :
Dim $M_n $ = Dim Ker f + Dim Im f e infatti :
$n^2 = (n^2 -n) + n .
della risposta di ubermensch mi dà l’occasione per una risposta più articolata che spero almeno qualcuno riesca a leggere fino in fondo . L’applicazione f agisce sulle matrici ( nxn) ( lo spazio di partenza è quindi : $ M_n $ ) e dà come risultato il vettore degli elementi della diagonale ( spazio di arrivo : $ R^n$).
Ad esempio se : $A = ((1,3,5),(2,4,6),(8,9,10 )) $ allora f(A) = (1,4,10) .
* Linearità.
E’ facile controllare che le condizioni di linearità :
f(A+B) = f(A) +f(B)
f(kA) = kf(A)
sono verificate (essendo A,B due matrici (nxn) e k un numero reale).
Infatti se si sommano 2 matrici, si sommano anche gli analoghi elementi
delle 2 diagonali ; se si moltiplica per k una matrice , anche gli elementi della diagonale vengono moltiplicati per k.
* Dim Ker f
Si chiede di determinare la dimensione del sottospazio Ker f : esso è sottospazio di $ M_n $ ed è per definizione , la controimmagine del vettore nullo (0,0,0….,0) dello spazio di arrivo , cioè di $R^n $ .
Quali matrici avranno come trasformato mediante l’applicazione f il vettore nullo di $R^n$ ?.
Tutte le matrici con diagonale ad elementi tutti nulli. Qual è la dimensione del sottospazio delle matrici ( nxn ) con diagonale nulla ?
Una matrice (nxn) ha $ n^2 $ elementi ; ma nel caso specifico gli elementi della diagonale principale sono già noti in quanto tutti nulli e sono in quantità di n.
Allora Dim Ker f = $n^2-n$ ; l’applicazione non è iniettiva .
Esempio per n = 3.
Dim Ker f = 6
Una base di Ker f è data dalle seguenti 6 matrici :
$((0,1,0),(0,0,0),(0,0,0)) $ ; $ ((0,0,1),(0,0,0),(0,0,0)) $
$((0,0,0),(1,0,0),(0,0,0)) $ ; $ ((0,0,0),(0,0,1),(0,0,0)) $
$((0,0,0),(0,0,0),(1,0,0)) $ ; $ ((0,0,0),(0,0,0),(0,1,0))$
Le combinazioni lineari di queste matrici daranno tutte le matrici (3x3) che compongono Ker f .
*Dim Im f
L’immagine della applicazione lineare f è costituita dal vettore riga di n elementi fra loro indipendenti e quindi la Dimensione dell’immagine di f è : n.
Poiché n è anche la dimensione dello spazio di arrivo ($R^n$) , l’applicazione è suriettiva .
Una base di Im f ( n=3) è ovviamente data ad es. da :
$(1,0,0) ; (0,1,0) ;(0,0,1) $.
*Verifica delle dimensioni dei sottospazi Ker f , Im f .
Il teorema delle dimensioni ci assicura che :
Dim $M_n $ = Dim Ker f + Dim Im f e infatti :
$n^2 = (n^2 -n) + n .
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