Sfida!
Propongo qualcosa io. Vediamo chi risponde 
Definiamo un insieme M. Dati 3 qualsiasi diversi elementi a,b,c di questo insieme, la quantità
a^2+bc
è SEMPRE un numero razionale.
Dimostrare che esiste n naturale tale che
( sqrt(n)*k ) appartiene a Q (ovverosia è un numero razionale!)
dove k è un qualsiasi elemento di M
Io per ora l'ho risolto solo in parte...
p.s.: perchè stò forum continua a darmi ERRORE: eseguire il debug? posso usare solo la quick reply o sono costretto con i copia-incolla: prima o poi dovrò risolvere questo problema!
Definiamo un insieme M. Dati 3 qualsiasi diversi elementi a,b,c di questo insieme, la quantità
a^2+bc
è SEMPRE un numero razionale.
Dimostrare che esiste n naturale tale che
( sqrt(n)*k ) appartiene a Q (ovverosia è un numero razionale!)
dove k è un qualsiasi elemento di M
Io per ora l'ho risolto solo in parte...
p.s.: perchè stò forum continua a darmi ERRORE: eseguire il debug? posso usare solo la quick reply o sono costretto con i copia-incolla: prima o poi dovrò risolvere questo problema!
Risposte
dimenticavo: M ha almeno quattro elementi...
domanda bonus: cosa succede se M ha solo 3 elementi?
ps: PRIMA si risponde al problema, DOPO alla domanda bonus. Buon lavoro!
domanda bonus: cosa succede se M ha solo 3 elementi?
ps: PRIMA si risponde al problema, DOPO alla domanda bonus. Buon lavoro!
ho elaborato una dimostrazione veramente incasinatissima!!
non so se è giusta, e non so se riesco a postarla per bene... ma ci provo...
allora, ho pensato che se a^2 +b*c è razionale, ho considerato che i termini a^2 e b*c, siano numeri razionali...adesso, possiamo notare subito, che se a b c sono razionali, allora basta che n sia un quadrato perfetto e i conti tornano....ma se a b c non sono razionali le cose si complicano...allora, io ho considerato innanzitutto a=sqrt(A),con A razionale(si noti che la radice deve avere indice due, perchè altrimenti moltiplicandola con sqrt(n) non otterremmo un numero razionale...ci sarebbero ancora altre considerazioni da fare, ma ipotizzando che la radice siadi indice due, non abbiamo ancora contrastato con le ipotesi...); a questo punto dobbiamo vedere quando il prodotto sqrt(n)*sqrt(A^2)è un numero razionale, e scrivendolo come
sqrt(A^2 *n), vediamo che (A^2 *n)è il quadrato di un numero razionale quando n=A^2m, dove m è un numero naturale; a questo punto ho visto quando b*c*sqrt(n) è razionale(rimaniamo sempre nell' ipotesi che b e c non siano razionali...), scrivendo b=sqrt(B) e c=sqrt(C),con B e C razionali, deve essere
sqrt(B)*sqrt(C) razionale, e
sqrt(B)*sqrt(C)*sqrt(n) razionale (si noti, che prendo b e c come
radici quadrate, perchè sto
cercando dei numeri particolari)
a questo punto ottengo che
B=C^2p+1,dove p è un numero intero relativo, e quindi B*C=C^2(p+1); inoltre ricavo che
n=C^2q, con q un numero naturale...a questo punto noto che
n=A^2m e n=C^2q, cioè A^m=C^q, dove potrebbe essere per esempio A=C^f, tale che (C^f)^g=A^m...adesso abbiamo ottenuto delle condizioni a cui deve sottostare la n, la a la b e la c, però ho fatto vedere che per condizioni che verificano le ipotesi, possono esistere valori interi di n(a opportuni valori di m e q), e quindi il teorema dovrebbe essere dimostrato....
la domanda bonus, la lascio ad altri, io sono ko...[xx(]
non so se è giusta, e non so se riesco a postarla per bene... ma ci provo...
allora, ho pensato che se a^2 +b*c è razionale, ho considerato che i termini a^2 e b*c, siano numeri razionali...adesso, possiamo notare subito, che se a b c sono razionali, allora basta che n sia un quadrato perfetto e i conti tornano....ma se a b c non sono razionali le cose si complicano...allora, io ho considerato innanzitutto a=sqrt(A),con A razionale(si noti che la radice deve avere indice due, perchè altrimenti moltiplicandola con sqrt(n) non otterremmo un numero razionale...ci sarebbero ancora altre considerazioni da fare, ma ipotizzando che la radice siadi indice due, non abbiamo ancora contrastato con le ipotesi...); a questo punto dobbiamo vedere quando il prodotto sqrt(n)*sqrt(A^2)è un numero razionale, e scrivendolo come
sqrt(A^2 *n), vediamo che (A^2 *n)è il quadrato di un numero razionale quando n=A^2m, dove m è un numero naturale; a questo punto ho visto quando b*c*sqrt(n) è razionale(rimaniamo sempre nell' ipotesi che b e c non siano razionali...), scrivendo b=sqrt(B) e c=sqrt(C),con B e C razionali, deve essere
sqrt(B)*sqrt(C) razionale, e
sqrt(B)*sqrt(C)*sqrt(n) razionale (si noti, che prendo b e c come
radici quadrate, perchè sto
cercando dei numeri particolari)
a questo punto ottengo che
B=C^2p+1,dove p è un numero intero relativo, e quindi B*C=C^2(p+1); inoltre ricavo che
n=C^2q, con q un numero naturale...a questo punto noto che
n=A^2m e n=C^2q, cioè A^m=C^q, dove potrebbe essere per esempio A=C^f, tale che (C^f)^g=A^m...adesso abbiamo ottenuto delle condizioni a cui deve sottostare la n, la a la b e la c, però ho fatto vedere che per condizioni che verificano le ipotesi, possono esistere valori interi di n(a opportuni valori di m e q), e quindi il teorema dovrebbe essere dimostrato....
la domanda bonus, la lascio ad altri, io sono ko...[xx(]
aspe...per caso sono ancora on-line...
nn ho letto bene il tutto (lo faccio doma spero!)ma credo tu sia arrivato dove (per ora) mi sono fermato anch'io. Se ab,ac,bc,...sono razionali(e quindi anche a^2,b^2,.. lo sono per forza: ab=q1, bc=q2-->b^2=q1*q2/ac) il problema è risolubile...
Ma chi ci dive che a^2 e bc per esempio nn possano essere irrazionali? Un numero razionale PUò essere ottenuto come somma di due irrazionali, infatti,se:
a+b=q1
ed a è irrazionale basta porre b=q1-a
in effetti nn possono esserlo (altrimenti la tesi sarebbe falsa) ma bisogna dimostrarlo! Forse per n=3 questo è possibile e per questo esiste la domanda bonus, altrimenti il tutto sarebbe verificato anche per quel caso!
Cmq bravo jack...vai avanti ora!
nn ho letto bene il tutto (lo faccio doma spero!)ma credo tu sia arrivato dove (per ora) mi sono fermato anch'io. Se ab,ac,bc,...sono razionali(e quindi anche a^2,b^2,.. lo sono per forza: ab=q1, bc=q2-->b^2=q1*q2/ac) il problema è risolubile...
Ma chi ci dive che a^2 e bc per esempio nn possano essere irrazionali? Un numero razionale PUò essere ottenuto come somma di due irrazionali, infatti,se:
a+b=q1
ed a è irrazionale basta porre b=q1-a
in effetti nn possono esserlo (altrimenti la tesi sarebbe falsa) ma bisogna dimostrarlo! Forse per n=3 questo è possibile e per questo esiste la domanda bonus, altrimenti il tutto sarebbe verificato anche per quel caso!
Cmq bravo jack...vai avanti ora!
ciao thomas...
purtroppo ieri non ho avuto il tempo di verifikare completamente la mia dimostrazione...cioè, non sono sicuro al 100% che sia giusta...io avevo pensato che a b e c potessero anche essere irrazionali...in effetti la mia dimostrazione considera praticamente solo gli irrazionali(nel senso che i razionali li ho liquiadti all' inizio)...però, ripeto, non so se la mia dimostrazione funziona(inteoria avrei dimostrato che b e c possono essere irrazionali ed esserci una n...)...più che altro è l' ultima parte(quella sulle considerzioni sul prodotto b*c e b*c*sqrt(n)) che è tosta...comunque adesso ricontrollo un attimo tutto, e posto al più presto...
purtroppo ieri non ho avuto il tempo di verifikare completamente la mia dimostrazione...cioè, non sono sicuro al 100% che sia giusta...io avevo pensato che a b e c potessero anche essere irrazionali...in effetti la mia dimostrazione considera praticamente solo gli irrazionali(nel senso che i razionali li ho liquiadti all' inizio)...però, ripeto, non so se la mia dimostrazione funziona(inteoria avrei dimostrato che b e c possono essere irrazionali ed esserci una n...)...più che altro è l' ultima parte(quella sulle considerzioni sul prodotto b*c e b*c*sqrt(n)) che è tosta...comunque adesso ricontrollo un attimo tutto, e posto al più presto...
dunque..ho ricontrollato il mio post della dimostrazione,e indico in questo post il ragionamento:
a parte per a b c razionali, considerando a b c irrazionali ,ho pensato che a^2 e b*c siano razionali(non so di preciso se la somma di due numeri irrazionali possa dare un numero razionale, ma io ho ipotizzato di no); a questo punto, siccome devo dimostrare che anche sqrt(n)* (a^2 + b*c) deve essere razionale, l' ho scritto come
(a^2 *sqrt(n))+ (b*c*sqrt(n)) adesso basta (spero)dimostrare che i due addendi sono razionali
e per la dimostrazine si veda il post sopra...alla fin fine, ottengo dei valori che deve avere n, e cioè deve essere multiplo di A di C(e di conseguenza di B), pertanto, ora che ci penso, A B e C devono essere o numeri naturali, o numeri inversi di numeri naturali (per il significato di A B e C si veda sempre il post sopra)....
a parte per a b c razionali, considerando a b c irrazionali ,ho pensato che a^2 e b*c siano razionali(non so di preciso se la somma di due numeri irrazionali possa dare un numero razionale, ma io ho ipotizzato di no); a questo punto, siccome devo dimostrare che anche sqrt(n)* (a^2 + b*c) deve essere razionale, l' ho scritto come
(a^2 *sqrt(n))+ (b*c*sqrt(n)) adesso basta (spero)dimostrare che i due addendi sono razionali
e per la dimostrazine si veda il post sopra...alla fin fine, ottengo dei valori che deve avere n, e cioè deve essere multiplo di A di C(e di conseguenza di B), pertanto, ora che ci penso, A B e C devono essere o numeri naturali, o numeri inversi di numeri naturali (per il significato di A B e C si veda sempre il post sopra)....
Ho letto bene il tuo ultimo post dove spieghi la traccia della sol e ti vorrei chiedere alcune cose:
"ho pensato che a^2 e b*c siano razionali(non so di preciso se la somma di due numeri irrazionali possa dare un numero razionale, ma io ho ipotizzato di no)"
ecco: per mè questo p falso!
poniamo per esempio
bc=sqrt(2)-->b=c=radice quarta di 2
a^2+bc=4
-->a^2=4-sqrt(2)--->a=sqrt(4-sqrt(2))
quindi
[sqrt( 4-sqrt(2) )]^2+radice quarta di 2*radice quarta di 2 = 4
infatti la somma nn è legge di composizione interna negli irrazzionali...
bisogna a mio parere dimostrare che questi casi nn possono rispettare la condizioni per ogni tripletta e dopo procedere con la dimostrazione tenendo quelle ipotesi...
Se continuo a nn capire ciò che dici fammelo pure notare..
"ho pensato che a^2 e b*c siano razionali(non so di preciso se la somma di due numeri irrazionali possa dare un numero razionale, ma io ho ipotizzato di no)"
ecco: per mè questo p falso!
poniamo per esempio
bc=sqrt(2)-->b=c=radice quarta di 2
a^2+bc=4
-->a^2=4-sqrt(2)--->a=sqrt(4-sqrt(2))
quindi
[sqrt( 4-sqrt(2) )]^2+radice quarta di 2*radice quarta di 2 = 4
infatti la somma nn è legge di composizione interna negli irrazzionali...
bisogna a mio parere dimostrare che questi casi nn possono rispettare la condizioni per ogni tripletta e dopo procedere con la dimostrazione tenendo quelle ipotesi...
Se continuo a nn capire ciò che dici fammelo pure notare..
ok thomas hai centrato in pieno il significato del post...
comunque vedrò cosa posso fare per eliminare i casi che hai detto te...
ciao
comunque vedrò cosa posso fare per eliminare i casi che hai detto te...
ciao
up!
p.s.: il problema nn attira nessuno a parte jack (che, riconosciamolo, ha già dato un buon contributo!)?? Ne ho altri di molto carini, che ho risolto in questi giorni.. Se mi uccidete questo, ne posto qualcuno!
p.s.: il problema nn attira nessuno a parte jack (che, riconosciamolo, ha già dato un buon contributo!)?? Ne ho altri di molto carini, che ho risolto in questi giorni.. Se mi uccidete questo, ne posto qualcuno!
ciao thomas
è da un po' che non mi faccio vivo, ma ho avuto un po' di impegni...
prima di gettare nel dimenticatoio il problema, volevo postare qualcosa riguardo il fatto che la somma di numeri irrazionali possa essere razionale: in pratica nel nostro caso, ponendo per esempio che b*c sia irrazionale, diciamo che a^2 è uguale a q-(b*c), dove q è un numero razionale, in questo modo a^2 è irrazionale, ma sommato a b*c, fa sì che il numero sia razionale...però se scriviamo la somma
a^2 + b*c come (q-(b*c))+(b*c), cioè q; adesso, moltiplicando q per sqrt(n), sappiamo che per essere razionale, n deve essere un quadrato perfetto...
è da un po' che non mi faccio vivo, ma ho avuto un po' di impegni...
prima di gettare nel dimenticatoio il problema, volevo postare qualcosa riguardo il fatto che la somma di numeri irrazionali possa essere razionale: in pratica nel nostro caso, ponendo per esempio che b*c sia irrazionale, diciamo che a^2 è uguale a q-(b*c), dove q è un numero razionale, in questo modo a^2 è irrazionale, ma sommato a b*c, fa sì che il numero sia razionale...però se scriviamo la somma
a^2 + b*c come (q-(b*c))+(b*c), cioè q; adesso, moltiplicando q per sqrt(n), sappiamo che per essere razionale, n deve essere un quadrato perfetto...
quote:
Originally posted by Thomas
Propongo qualcosa io. Vediamo chi risponde
Definiamo un insieme M. Dati 3 qualsiasi diversi elementi a,b,c di questo insieme, la quantità
a^2+bc
è SEMPRE un numero razionale.
Dimostrare che esiste n naturale tale che
( sqrt(n)*k ) appartiene a Q (ovverosia è un numero razionale!)
dove k è un qualsiasi elemento di M
Io per ora l'ho risolto solo in parte...
p.s.: perchè stò forum continua a darmi ERRORE: eseguire il debug? posso usare solo la quick reply o sono costretto con i copia-incolla: prima o poi dovrò risolvere questo problema!
Problema interessante dove l'hai preso?
Abbozzo una soluzione.
E' relativamente facile dimostrare che se anche uno solo degli elementi di M è tale che il suo quadrato è razionale lo stesso vale per tutti ed esiste il numero naturale n definito nel testo del problema.
Siano a0,a1,a2,a4 quattro elementi di M, allora in particolare si ha:
a0^2+a1a2=n3;a0^2+a1a3=n2;etc...
a1^2+a0a2=m3;a1^2+a0a3=m2;etc...
a2^2+a0a1=l3;a3^2+a0a1=l2;etc...
allora
(a0a1)^2=(n3-a1a2)(m3-a0a2)=(n2-a1a3)(m2-a0a3)
sviluppando i calcoli si ottiene una equazione lineare a coefficienti razionali nelle aiaj.Di queste equazioni se ne possono costuire una per ogni coppia aiaj, quindi si ha un sistema lineare non omogeneo di sei equazioni nelle 6 incognite aiaj con termini noti e coefficienti tutti razionali, quindi anche la soluzione quando esiste è razionale, ma noi sappiamo che esiste per ipotesi.
Onestamente si sembra un po' complessa, comunque questa mi è venuta di primo acchito, l'anno prossimo ci ripenso!.
Saluti
Mistral
P.S. forse ci sarebbe da verificare la possibilità di determinante nullo.
Mi pare che funzioni !!!! Per ora passa il mio primo mooolto veloce controllo (60 secondi!)!!
Nn pensavo fosse così semplice! (dai che nn è una sol complicata, ma talvolta certe cose nn si vedono, soprattutto se nn hai mai risolto una matrice in vita tua! Tu l'hai vista: complimenti!)[dò per scontanto per ora che il tutto sia corretto
Cmq nel caso =3 il confronto 'nn se può più' fare! Per finire perchè nn troviamo un contro-esempio?
p.s.: l'ho trovato scorrazzando sulla rete. Credo fosse stato postato su un sito da una ragazza coreana e che questo fosse un quesito di selezione per la squadra nazionale delle IMO (olimpiadi della matematica per ragazzi liceali, per intenderci)...
Nn pensavo fosse così semplice! (dai che nn è una sol complicata, ma talvolta certe cose nn si vedono, soprattutto se nn hai mai risolto una matrice in vita tua! Tu l'hai vista: complimenti!)[dò per scontanto per ora che il tutto sia corretto
Cmq nel caso =3 il confronto 'nn se può più' fare! Per finire perchè nn troviamo un contro-esempio?
p.s.: l'ho trovato scorrazzando sulla rete. Credo fosse stato postato su un sito da una ragazza coreana e che questo fosse un quesito di selezione per la squadra nazionale delle IMO (olimpiadi della matematica per ragazzi liceali, per intenderci)...
anche secondo me questo problema è interessante...se ne hai altri, postali pure, male non fanno[:)]...
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