Sfida 2!
Dato che sono stato esplicitamente richiesto e quest'anno mi sento buono, posto un altro es. Su questo vi posso anche dare una mano 
... a me pare molto bello!
Dimostrare che la somma
(a+1/2)^n + (b+1/2)^n
con a e b interi è un numero intero solo per finiti valori di n
Buon lavoro!
... a me pare molto bello!Dimostrare che la somma
(a+1/2)^n + (b+1/2)^n
con a e b interi è un numero intero solo per finiti valori di n
Buon lavoro!
Risposte
ci ho pensato su un po', e queste sono le conclusioni che ho ottenuto:
innanzitutto ho scritto l' espressione come:
[(2a+1)/2]^n + [(2b+1)/2]^n adesso, elevando singolarmente numeratori e denominatori, ottengo
(2a+1)^n /2^n + (2b+1)^n /2^n, e raccogliendo a fattor comune il denominatore ottengo
1/2^n * [(2a+1)^n + (2b+1)^n]
adesso, ogni binomio elevato alla n diventa
(a+b)^n=a^n+ n*(a^(n-1))*b + ... + b^n
[ecco, a dire il vero non ricordo i coefficienti di ogni singolo monomio, ma comunque so che il grado del termine a diminuisce, e quello del termine b aumenta..]
adesso possiamo riscrivere il tutto come
1/2^n * [(2a)^n +...+1 +(2b)^n+...+1]
cioè
1/2^n * [(2a)^n+...+(2b)^n...+(1+1)],quindi
1/2^n* [(2a)^n+...+(2b)^n+...+2]
adesso, indipendentemente da n, del nostro polinomio, possiamo sicuramente raccogliere il fattore 2, ottenendo
2/2^n * [2^(n-1)*a^n+...+2^(n-1)*b^n+...+1],
e adesso non possiamo raccogliere altri fattori dal polinomio(per via dell' "1"...), pertanto siccome il nostro polinomio è un nuero intero(in quanto è la somma di numeri interi), il nostro ago della bilancia è la frazione 2/2^n, che ha valore intero solo quando n=1(mi pare che n debba appartenere a N...almeno spero...), oppure, possiamo avere n=0, cioè
(a+1/2)^0 + (b+1/2)^0= 2
quindi in definitiva, con n numero naturale, esistono solo due valori di n che verificano le condizioni...
innanzitutto ho scritto l' espressione come:
[(2a+1)/2]^n + [(2b+1)/2]^n adesso, elevando singolarmente numeratori e denominatori, ottengo
(2a+1)^n /2^n + (2b+1)^n /2^n, e raccogliendo a fattor comune il denominatore ottengo
1/2^n * [(2a+1)^n + (2b+1)^n]
adesso, ogni binomio elevato alla n diventa
(a+b)^n=a^n+ n*(a^(n-1))*b + ... + b^n
[ecco, a dire il vero non ricordo i coefficienti di ogni singolo monomio, ma comunque so che il grado del termine a diminuisce, e quello del termine b aumenta..]
adesso possiamo riscrivere il tutto come
1/2^n * [(2a)^n +...+1 +(2b)^n+...+1]
cioè
1/2^n * [(2a)^n+...+(2b)^n...+(1+1)],quindi
1/2^n* [(2a)^n+...+(2b)^n+...+2]
adesso, indipendentemente da n, del nostro polinomio, possiamo sicuramente raccogliere il fattore 2, ottenendo
2/2^n * [2^(n-1)*a^n+...+2^(n-1)*b^n+...+1],
e adesso non possiamo raccogliere altri fattori dal polinomio(per via dell' "1"...), pertanto siccome il nostro polinomio è un nuero intero(in quanto è la somma di numeri interi), il nostro ago della bilancia è la frazione 2/2^n, che ha valore intero solo quando n=1(mi pare che n debba appartenere a N...almeno spero...), oppure, possiamo avere n=0, cioè
(a+1/2)^0 + (b+1/2)^0= 2
quindi in definitiva, con n numero naturale, esistono solo due valori di n che verificano le condizioni...
quote:
Originally posted by jack
2/2^n * [2^(n-1)*a^n+...+2^(n-1)*b^n+...+1],
e adesso non possiamo raccogliere altri fattori dal polinomio(per via dell' "1"...)
La riscrittura iniziale mi pare buona (uguale alla mia!). Qui purtroppo vedo un errore (se nn è quà, vi è nelle conclusioni!)..
C'è qualcosa nascosto dietro quei puntini che rovina il tutto. Prima esistevano un termine della somma Bin(n,n-1)*[2a*1 +2b*1] (ho aggiunto il coefficiente che credo corretto). Dopo hai diviso per 2 ed è nato un numero che potrebbe essere dispari!
Cmq se vuoi un contro-esempio:
2^5 / (9^5 + 23^5)...
dove il simbolo / stà per divide...
ora che ci penso, credo proprio di aver capito l' errore fatale...un errore che smonta totalmente la mia dimostrazione...vabbè, ricomincerò da zero[:D]...
se volete un consiglio lasciate perdere il teorema del binomio!
ah...specifico che la tesi è questa: scelti a e b, dimostrare che vanno bene solo finiti valori di n (ma con a e b fissi, eh!)
ah...specifico che la tesi è questa: scelti a e b, dimostrare che vanno bene solo finiti valori di n (ma con a e b fissi, eh!)
ho solo una piccolissima domanda alla quale non riesco a rispondere...
il numero
(a+ 1/2)^n + (b+ 1/2)^n può essere divisibile per 4?
(personalmente spero di no, se no sono stato a scervellarmi per mezz' ora...)
il numero
(a+ 1/2)^n + (b+ 1/2)^n può essere divisibile per 4?
(personalmente spero di no, se no sono stato a scervellarmi per mezz' ora...)
Ho un dubbio: per esempio con a=b=6 e n=1 si ha un valore intero, cioè 13, ma con a=b=6 e n=2 si ha 84.5. Confermate?
Ciao, Ermanno.
Ciao, Ermanno.
@ Jack:
Si può esserlo Jack:
a=16---b=47----n=5---provare per credere!
(sembra un esempio da mago, eh?)..la risposta alla tua domanda è strettamente collegata alla sol del problema, o meglio, risolto il problema rispondere alla tua domanda è molto facile!...
@ Leonardo:
Si, confermo... qualche problema di comprensione del testo dell'esercizio?
Si può esserlo Jack:
a=16---b=47----n=5---provare per credere!
(sembra un esempio da mago, eh?)..la risposta alla tua domanda è strettamente collegata alla sol del problema, o meglio, risolto il problema rispondere alla tua domanda è molto facile!...
@ Leonardo:
Si, confermo... qualche problema di comprensione del testo dell'esercizio?
confermo il tuo risultato ermanno(scusa se con 2 ore e mezza di ritardo, ma ero impegnato...), però hai scelto un caso abbastanza particolare (cioè a=b)...io ho tentato di risolvere il busillis per assurdo, tentando di dimostrare il contrario per induzione...
innanzitutto per n=0 e per n=1 il tutto fila(è abbastanza facile verificarlo); adesso supponiamo che valga fino a n, e vediamo se le nostre condizioni si verificano anche per n+1:
(a+ 1/2)^(n+1) +(b+ 1/2)^(n+1) deve essere intero: riscriviamolo così:
[(a+ 1/2)^n * (a+ 1/2)] + [(b+ 1/2)^n * (b+ 1/2)]
considerando questo prodotto del tipo (a*b)+(c*d), poichè esso è uguale a [(a+c)*(b+d)]-(a*d)-(b*c), riscrivo il tutto come
{[(a+ 1/2)^n + (b+ 1/2)^n]*[(a+ 1/2)+(b+ 1/2)]}- [(a+ 1/2)^n *(b+ 1/2)] -[(a+ 1/2)*(b+ 1/2)^n] e raccogliendo nel terzo e quarto termine:
{[(a+ 1/2)^n + (b+ 1/2)^n]*[(a+ 1/2)+(b+ 1/2)]}- {(a+ 1/2)*(b+ 1/2)*[(a+ 1/2)^(n-1) + (b+ 1/2)^(n-1)]
scusate l' eccessvia lunghezza, da scrivere su un foglio di carta è molto più corto...
comunque indicando quello che è scritto là sopra lo si può riassumere così:
[(numero intero)*(numero intero)]-{[(numero intero)/4]*(numero intero)}
adesso, quello che è importante è vedere se (a+ 1/2)^(n-1) +(b+ 1/2)^(n-1) è divisibile per 4(se non lo è, allora la dimostrazione per induzione non funziona e quindi si dimostra quello che volevamo, se invece è possibile che sia divisibile....beh ho sprecato mezz' ora in calcoli inutili...)...
ma ora che ci penso mi viene un altro dubbio...è corretto il metodo che ho usato?non intendo i calcoli, ma il dare una dimostrazione per induzione, tentando di dimostrare il contrario di quello che volevamo...
innanzitutto per n=0 e per n=1 il tutto fila(è abbastanza facile verificarlo); adesso supponiamo che valga fino a n, e vediamo se le nostre condizioni si verificano anche per n+1:
(a+ 1/2)^(n+1) +(b+ 1/2)^(n+1) deve essere intero: riscriviamolo così:
[(a+ 1/2)^n * (a+ 1/2)] + [(b+ 1/2)^n * (b+ 1/2)]
considerando questo prodotto del tipo (a*b)+(c*d), poichè esso è uguale a [(a+c)*(b+d)]-(a*d)-(b*c), riscrivo il tutto come
{[(a+ 1/2)^n + (b+ 1/2)^n]*[(a+ 1/2)+(b+ 1/2)]}- [(a+ 1/2)^n *(b+ 1/2)] -[(a+ 1/2)*(b+ 1/2)^n] e raccogliendo nel terzo e quarto termine:
{[(a+ 1/2)^n + (b+ 1/2)^n]*[(a+ 1/2)+(b+ 1/2)]}- {(a+ 1/2)*(b+ 1/2)*[(a+ 1/2)^(n-1) + (b+ 1/2)^(n-1)]
scusate l' eccessvia lunghezza, da scrivere su un foglio di carta è molto più corto...
comunque indicando quello che è scritto là sopra lo si può riassumere così:
[(numero intero)*(numero intero)]-{[(numero intero)/4]*(numero intero)}
adesso, quello che è importante è vedere se (a+ 1/2)^(n-1) +(b+ 1/2)^(n-1) è divisibile per 4(se non lo è, allora la dimostrazione per induzione non funziona e quindi si dimostra quello che volevamo, se invece è possibile che sia divisibile....beh ho sprecato mezz' ora in calcoli inutili...)...
ma ora che ci penso mi viene un altro dubbio...è corretto il metodo che ho usato?non intendo i calcoli, ma il dare una dimostrazione per induzione, tentando di dimostrare il contrario di quello che volevamo...
Ok, ho scelto un caso particolare. Ma anche con a=6 b=5 e n=2 la somma è 84.5, cioè non intero, mentre per n=1 o n=3 è intero. Ho frainteso la traccia o cosa?
Ciao, Ermanno.
Ciao, Ermanno.
Buon tentativo ma come ti dico sopra questo nn è vero. Ma nn capisco una cosa. Ammettiamo che il tutto nn funzionasse, questo ti direbbe che la tesi è falsa? Potresti dire al max che nn è possibile che la funzione assuma valori interi per ogni n. Ma gli infiniti n potrebbero essere sparpagliati nell'insieme dei numeri naturali!
l'induzione quà nn funzia...servono altre identità!
l'induzione quà nn funzia...servono altre identità!
@leonardo
da quello che ho capito io, la richiesta era quella di dimostrare che dati due numeri interi qualsiasi, le "n" che verificano la stringa sono sempre finite...beh, perlomeno spero che sia così, perchè se no ho sprecato fogli e fogli inutilmente...
@thomas
ecco, lo sapevo...ho sprecato mezz' ora...[:D]
da quello che ho capito io, la richiesta era quella di dimostrare che dati due numeri interi qualsiasi, le "n" che verificano la stringa sono sempre finite...beh, perlomeno spero che sia così, perchè se no ho sprecato fogli e fogli inutilmente...
@thomas
ecco, lo sapevo...ho sprecato mezz' ora...[:D]
Traccia: scegli a e b. e definisci un insieme M. M contiene tutti i k naturali tali che:
(a+1/2)^k + (b+1/2)^k è intero.
Dimostrare che M contiene un numero finito di elementi!
Ora vi saluto però... è tardi!
(a+1/2)^k + (b+1/2)^k è intero.
Dimostrare che M contiene un numero finito di elementi!
Ora vi saluto però... è tardi!
ok per la traccia di Jack..
@Jack: don't worry! Hai acquisito capacità ed esperienza che possono essere utili in altri problemi...Io la vedo così quando sono in situazioni simili! (e purtroppo succede...spesso!)
@Jack: don't worry! Hai acquisito capacità ed esperienza che possono essere utili in altri problemi...Io la vedo così quando sono in situazioni simili! (e purtroppo succede...spesso!)
Ok...hint1: distinguere n pari ed n dispari. Per uno (quale?) ci vuole un filo (ma proprio un filo!) di dimestichezza con le congruenze, l'altro un accurato esame del (mio) libro di prima liceo...
lo scriverei in bianchetto ma nn sò come fare!
lo scriverei in bianchetto ma nn sò come fare!
lo sospettavo dall' inizio che c'entravano le congruenze...peccato che la dimestichezza non ce l'ho!...oggi ho riempito tre fogli di calcoli, ho riletto un libro di teoria dei numeri, ma nonstante tutto non ho cavato un ragno dal buco...comunque ci sbatterò la testa nei prossimi giorni...
(a + 1/2)^n+(b + 1/2)^n=1/(2^n([(2a +1)^n+(2b + 1)^n] ...affinchè la somma precedente sia un intero,
(2a +1)^n+(2b +1)^n deve essere divisibile per 2^n, ossia
[(2a +1)^n+(2b +1)^n] mod 2^n deve essere 0.
suppongo a >= 0 e b >= 0 per semplicità (ma credo di non togliere generalità al problema)
si deduce facilmente che 0 < 2a + 1 < 2^k -1 e 0 < 2b +1 < 2^h - 1.
k = log(2a +1)(logaritmo in base 2 arrotondato per eccesso a valore intero) e h = log(2b +1) (anche questo in base 2 e arrotondato per eccesso)
allora se scelgo n > max(h,k) l'espressione che ho scritto sopra avrà sempre modulo diverso da 0 e quindi l'espessione iniziale non sarà intera per valori di n maggiori del massimo di h e k, che ovviamente dipendono da a e b, ma che una volta fissati(a e b) si trovano facilmente.
Ho risposto al problema per istinto e spero di non aver scritto cavolate.
(2a +1)^n+(2b +1)^n deve essere divisibile per 2^n, ossia
[(2a +1)^n+(2b +1)^n] mod 2^n deve essere 0.
suppongo a >= 0 e b >= 0 per semplicità (ma credo di non togliere generalità al problema)
si deduce facilmente che 0 < 2a + 1 < 2^k -1 e 0 < 2b +1 < 2^h - 1.
k = log(2a +1)(logaritmo in base 2 arrotondato per eccesso a valore intero) e h = log(2b +1) (anche questo in base 2 e arrotondato per eccesso)
allora se scelgo n > max(h,k) l'espressione che ho scritto sopra avrà sempre modulo diverso da 0 e quindi l'espessione iniziale non sarà intera per valori di n maggiori del massimo di h e k, che ovviamente dipendono da a e b, ma che una volta fissati(a e b) si trovano facilmente.
Ho risposto al problema per istinto e spero di non aver scritto cavolate.
Allora...nn capisco bene.
Tu trovi due potenze di 2 maggior di 2a+1 e 2b+1. Poi ne prendi una ancora maggiore di queste e dici che l'espressione [(2a +1)^n+(2b +1)^n] nn è divisibile per quest'ultima. Mi risulterebbe chiaro se 2a+1 e 2b+1 fossero elevate alla prima ma vista così mi sembrerebbe che perlomeno tu debba chiarire il tuo ragionamento (cmq nn sono sicuro di avere ben capito)...
Tu trovi due potenze di 2 maggior di 2a+1 e 2b+1. Poi ne prendi una ancora maggiore di queste e dici che l'espressione [(2a +1)^n+(2b +1)^n] nn è divisibile per quest'ultima. Mi risulterebbe chiaro se 2a+1 e 2b+1 fossero elevate alla prima ma vista così mi sembrerebbe che perlomeno tu debba chiarire il tuo ragionamento (cmq nn sono sicuro di avere ben capito)...
chiarisco con un esempio:
supponiamo a = 5 e b = 19, in questo caso
0 < 2a +1 = 11 < 2^4 - 1 e 0 < 2b + 1 = 39 < 2^6 -1 , allora sicuramente per n > 6 l'espressione che tu hai dato non sarà intera.
supponiamo a = 5 e b = 19, in questo caso
0 < 2a +1 = 11 < 2^4 - 1 e 0 < 2b + 1 = 39 < 2^6 -1 , allora sicuramente per n > 6 l'espressione che tu hai dato non sarà intera.
quote:
Originally posted by Thomas
Allora...nn capisco bene.
Tu trovi due potenze di 2 maggior di 2a+1 e 2b+1. Poi ne prendi una ancora maggiore di queste e dici che l'espressione [(2a +1)^n+(2b +1)^n] nn è divisibile per quest'ultima. Mi risulterebbe chiaro se 2a+1 e 2b+1 fossero elevate alla prima ma vista così mi sembrerebbe che perlomeno tu debba chiarire il tuo ragionamento (cmq nn sono sicuro di avere ben capito)...
Veramente nn ti capisco...vuoi forse dire che dato che 2^6 nn divide nessuno dei due addendi (essendo la base di questi minore di 2^6), allora nn divide quella somma? Se è così mi pare un pò errato: 2^5 divide (17^5+15^5) ma nn divide nè 17^5 nè 15^5 (poi ok l'esempio è leggermente diverso ma se l'idea è quella..)... Sono duro di comprendonio in questo periodo, lo so...
quote:
Originally posted by Thomas
Veramente nn ti capisco...vuoi forse dire che dato che 2^6 nn divide nessuno dei due addendi (essendo la base di questi minore di 2^6), allora nn divide quella somma? Se è così mi pare un pò errato: 2^5 divide (17^5+15^5) ma nn divide nè 17^5 nè 15^5 (poi ok l'esempio è leggermente diverso ma se l'idea è quella..)... Sono duro di comprendonio in questo periodo, lo so...
Non volevo dire questo, forse non sono stato chiaro nell'esporre la mia soluzione, ma non ho tempo di farlo ora. Magari se posso lo faccio in un altro momento, comunque rileggi meglio la mia prima risposta.
Ciao
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