Sfida 2!
Dato che sono stato esplicitamente richiesto e quest'anno mi sento buono, posto un altro es. Su questo vi posso anche dare una mano 
... a me pare molto bello!
Dimostrare che la somma
(a+1/2)^n + (b+1/2)^n
con a e b interi è un numero intero solo per finiti valori di n
Buon lavoro!
... a me pare molto bello!Dimostrare che la somma
(a+1/2)^n + (b+1/2)^n
con a e b interi è un numero intero solo per finiti valori di n
Buon lavoro!
Risposte
Dato che la mia sol è diversa attendo spiegazioni. Credo di essere capace anch'io di dimostrare questo passaggio:
"se scelgo n > max(h,k) l'espressione che ho scritto sopra avrà sempre modulo diverso da 0"
ma nn mi pare così evidente da nn richiedere commenti....
"se scelgo n > max(h,k) l'espressione che ho scritto sopra avrà sempre modulo diverso da 0"
ma nn mi pare così evidente da nn richiedere commenti....
a dire il vero tutta la dimostrazione richiederebbe un commento(e questo dimostra quanto ne so sulle congruenze...[:D]), prima di arrovellarmi, volevo solo un chiarimento:"max(h,k)" è il massimo comune divisore o altro?
grazie
grazie
quote:
Originally posted by jack
a dire il vero tutta la dimostrazione richiederebbe un commento(e questo dimostra quanto ne so sulle congruenze...[:D]), prima di arrovellarmi, volevo solo un chiarimento:"max(h,k)" è il massimo comune divisore o altro?
grazie
con max(h,k) intendo il massimo tra i due numeri esempio se h=5 e k=7
max(h,k) = 7
ok grazie per la precisazione(se no chissà cosa andavo a dimostrare [:D][:D]); ora però mi tocca chiederti un altro favore...mi puoi dimostrare che 0<2a+1<2^(k) -1 e parimenti per b?
grazie
ps: non è che te lo chiedo perchè sono scettico, ma sto cercando di capire cosa hai fatto [:D]...
grazie
ps: non è che te lo chiedo perchè sono scettico, ma sto cercando di capire cosa hai fatto [:D]...
Cerco di dirti cosa ho capito io Jack, così fchiriaco avrà + tempo per rispondere alle mie domande...
log(2a+1)=k
2^k=2a+1
prendo y come l'intero maggiore di k
2a+1=2^k < 2^y
il (-1) nn lo capisco, infatti può valere
2a+1=2^y-1 [noto che log(2a+1) e log(2a+2) hanno lo stesso valore arrotonando per eccesso dato che 2a+1 nn è mai una potenza di 2 quindi considerando che y anche quì è intero, a ragione ho utilizzato y in questa equazione definito come prima]
2(a+1)=2^y
basta che a+1 sia una potenza di 2. Se a=3, y=3 e 7=7.
Analogamente per h..
in sostanza per quanto ho capito io, fchiriaco in questo punto vuole semplicemente dire che 2^k è la più piccola potenza di 2 maggiore di 2a+1...
log(2a+1)=k
2^k=2a+1
prendo y come l'intero maggiore di k
2a+1=2^k < 2^y
il (-1) nn lo capisco, infatti può valere
2a+1=2^y-1 [noto che log(2a+1) e log(2a+2) hanno lo stesso valore arrotonando per eccesso dato che 2a+1 nn è mai una potenza di 2 quindi considerando che y anche quì è intero, a ragione ho utilizzato y in questa equazione definito come prima]
2(a+1)=2^y
basta che a+1 sia una potenza di 2. Se a=3, y=3 e 7=7.
Analogamente per h..
in sostanza per quanto ho capito io, fchiriaco in questo punto vuole semplicemente dire che 2^k è la più piccola potenza di 2 maggiore di 2a+1...
ah, ok...
per quanto riguarda la sol, ci sto ancora pensando...probabilmente mi ci vorrà il colpo di genio(e di fortuna)...ma lo sai che la tua equazione sembra un caso un po' più genrale dell' UTF?(ma ovviamente molto più facile da rislvere...)
per quanto riguarda la sol, ci sto ancora pensando...probabilmente mi ci vorrà il colpo di genio(e di fortuna)...ma lo sai che la tua equazione sembra un caso un po' più genrale dell' UTF?(ma ovviamente molto più facile da rislvere...)
fchiriaco nn risponde... Io al momento mi stò dedicando alla fisica ma una volta iniziato un lavoro nn ci si può tirare indietro...
Allora ecco HINT2
siamo giunti a dire che deve essere 2^n / (c^n+d^n)... (x/y=x divide y)con c e d dispari...
Se n è pari, può 4 dividere quella somma?
Se n è dispari, qualcuno si ricorda delle formule dimostrate in qualsiasi libro liceale con Ruffini? L'obiettivo è trovare una condizione che c e d devono rispettare per essere divisibili per 2^k...
Allora ecco HINT2
siamo giunti a dire che deve essere 2^n / (c^n+d^n)... (x/y=x divide y)con c e d dispari...
Se n è pari, può 4 dividere quella somma?
Se n è dispari, qualcuno si ricorda delle formule dimostrate in qualsiasi libro liceale con Ruffini? L'obiettivo è trovare una condizione che c e d devono rispettare per essere divisibili per 2^k...
ok ci sto studiando sopra...con calma ma ci arrivo...spero...
ecco che ritorna il malefico 4(questa volta però solo per gli n pari...), ma prima o poi riuscirò a venirne fuori...intanto mi faccio vivo, giusto per dire che non ho rinunciato alla dimostrazione...
ciao
ecco che ritorna il malefico 4(questa volta però solo per gli n pari...), ma prima o poi riuscirò a venirne fuori...intanto mi faccio vivo, giusto per dire che non ho rinunciato alla dimostrazione...
ciao
bastano le conoscenze di seconda superiore per dimostrarlo?
@EUCLA
qualche post prima c'è scritto che basta un "filo" di conoscenze delle congruenze, e un libro di prima liceo...quindi non ti dovrebbe riuscire impossibile risolverlo...
come vedi dai miei post precedenti io ci sto ancora provando...ma questo non ti deve scoraggiare, perchè magari mi sto lasciando sfuggire qualcosa di banale...[:)]
ciao
qualche post prima c'è scritto che basta un "filo" di conoscenze delle congruenze, e un libro di prima liceo...quindi non ti dovrebbe riuscire impossibile risolverlo...
come vedi dai miei post precedenti io ci sto ancora provando...ma questo non ti deve scoraggiare, perchè magari mi sto lasciando sfuggire qualcosa di banale...[:)]
ciao
ci sto provando...sapessi cosa sono le congruenze
http://web.unife.it/progetti/geometria/ ... ruenze.htm
http://www.dm.unibo.it/matematica/Congr ... 3/pag3.htm
ecco un po' di link che spiegano brevemente le congruenze...
anch' io mi sto arrovellando...ma prima o poi qualcosa di buono la cavo...[:D][:D]
http://www.dm.unibo.it/matematica/Congr ... 3/pag3.htm
ecco un po' di link che spiegano brevemente le congruenze...
anch' io mi sto arrovellando...ma prima o poi qualcosa di buono la cavo...[:D][:D]
grazie mille tom....ora li guardo
tom?
si ti piace il tuo nuovo nome....scusami stavo rispondendo in due forum contemporaneamente mi devo essere confusa un pochino 
io l'avrei risolto però senza le congruenze
potresti postarlo?giusto per curiosità...a me non viene in mente niente oltre le congruenze, e sono mesi che non mi ritorna...
ciao
ciao
ah giusto che stupida ho detto che avevo la soluzione e non l'ho scritta..
allora (a + 1/2)^n + (b + 1/2)^n = [( 2a + 1)/2]^n + [(2b + 1)/2]^n = [(2a + 1)^n + (2b + 1)^n]/ 2^n
Perchè il numero sia intero occorre che al numeratore si possa mettere a fattore comune 2^n per poi semplificarlo...ma dallo svolgimento delle potenze si nota che la potenza ennesima di 1 è sempre 1 e quindi rimangono una serie di numeri che dipendono dal valore che assume n, e il num 2
quindi il fattore comune è al max 2...=> solo se n(min o al piu eguale)1 si ottiene un numero intero. Dovendo n assumere valori interi gli unici sono 1 e 2.Infatti la somma data diventa a + 1/2 + b + 1/2=a + b + 1 [SE n = 1]
1+1=2 [SE n = 0]
allora (a + 1/2)^n + (b + 1/2)^n = [( 2a + 1)/2]^n + [(2b + 1)/2]^n = [(2a + 1)^n + (2b + 1)^n]/ 2^n
Perchè il numero sia intero occorre che al numeratore si possa mettere a fattore comune 2^n per poi semplificarlo...ma dallo svolgimento delle potenze si nota che la potenza ennesima di 1 è sempre 1 e quindi rimangono una serie di numeri che dipendono dal valore che assume n, e il num 2
quindi il fattore comune è al max 2...=> solo se n(min o al piu eguale)1 si ottiene un numero intero. Dovendo n assumere valori interi gli unici sono 1 e 2.Infatti la somma data diventa a + 1/2 + b + 1/2=a + b + 1 [SE n = 1]
1+1=2 [SE n = 0]
n può essere >1... se guardi nei msg prima ho postato quache esempio!
Cmq la tua sol mi pare (così, ad intuizione!) simile alla prima di jack, già discussa... anche se in realtà non ho ben capito cosa hai scritto!
Cmq la tua sol mi pare (così, ad intuizione!) simile alla prima di jack, già discussa... anche se in realtà non ho ben capito cosa hai scritto!
si è vero
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