Serie di Fibonacci
Salve, ieri nei giochi matematici ho trovato un problema che nn sono riuscito a risolvere. Diceva di trovare quanti numeri di 2016 cifre ci sono nella serie di Fibonacci. Nn so proprio dove iniziare. Un numero con 2016 cifre avrà $10^2015$ cifre. Magari s i può esprimere sotto forma di funzione però facendo solo seconda, nn so maneggiare bene derivate ed integrali... Grazie per eventuali aiuti.
Risposte
"ardesiacesellata":
Un numero con 2016 cifre avrà 10^2015 cifre.
Non hai scritto bene: $ 10^2015 $ ha 2016 cifre. Se fai solo seconda, probabilmente non riuscirai a seguire completamente quel che metto in spoiler, comunque provaci.
Ciao
B.
Grazie mille. Nn ho capito tanto. I calcoli coi logaritmi più o meno riesco a farli. Però nn so che cos e il rapporto aureo....
"ardesiacesellata":
nn so che cos e il rapporto aureo....
Un numero, di cui ti ho fornito il valore esatto (per la soluzione di questo quesito è sufficiente), legatissimo alla successione di Fibonacci (serie non è molto appropriato), che gode di una notevole quantità di proprietà interessanti. Per la sua definizione e per una miriade di 'giochini' che lo coinvolgono basta una ricerca in rete.
Ciao
B.
PS Una curiosità: nei giochi di cui parli, il quesito che hai proposto prevedeva una risposta aperta, oppure era un test, dove dovevi scegliere fra un numero limitato di possibilità? Nella seconda ipotesi, potresti scrivere quali erano le risposte fornite?
Ok grazie mille x il tuo tempo.
Le soluzioni proporste erano:
a. Al meno 2 al massimo 3
b.Al meno 4 al massimo 5
c. Al meno 6 al massimo 7
d. Nessuna delle precedenti
Le soluzioni proporste erano:
a. Al meno 2 al massimo 3
b.Al meno 4 al massimo 5
c. Al meno 6 al massimo 7
d. Nessuna delle precedenti
Ok ho fatto delle ricerche in rete su logaritmi e rapporto aureo. Però nn ho capito bene la spiegazione che mi ha gentilmente fornito, nel senso come e correlato il valore del rapporto aureo elevato alla quarta e alla quinta con il resto che hai detto?
Come pensavo, visto la risposta chiusa, andava bene la (b) e, importante, i logaritmi non servivano.
Prego, il tempo non mi manca. Allora tu sai che fra il primo e l'ultimo numero di una certa 'lunghezza' c'è un rapporto 10 (con una piccolissima approssimazione); ti vengono presentati i numeri di ardesia che hanno la caratteristica di essere ognuno il doppio del precedente, Quanti ce ne possono essere fra i numeri che hanno un dato numero di cifre?
Se rispondi a questa domanda, e son convinto che sei in grado di farlo, capirai subito il perché di quelle potenze che ti ho scritto.
Ciao
B.
Prego, il tempo non mi manca. Allora tu sai che fra il primo e l'ultimo numero di una certa 'lunghezza' c'è un rapporto 10 (con una piccolissima approssimazione); ti vengono presentati i numeri di ardesia che hanno la caratteristica di essere ognuno il doppio del precedente, Quanti ce ne possono essere fra i numeri che hanno un dato numero di cifre?
Se rispondi a questa domanda, e son convinto che sei in grado di farlo, capirai subito il perché di quelle potenze che ti ho scritto.
Ciao
B.
No scusa ma nn ho capito questo: per lunghezza intendi il numero.di cifre di un numero? E poi perché il rapporto tra il prima e l ultimo numero è 10? E poi nella successione di Fibonacci ogni numero nn e la somma dei precedenti? E coi numeri di ardesia immagino intendi i numeri di Fibonacci. Scusa le domande a raffica 
Sì, 'lunghezza' numero di cifre, per non scrivere svariate volte numero.
Quanto fa $ 99/10 $ oppure $ 9999/1000 $ oppure$ 99999/10000 $ ....
Nella successione di Fibonacci ogni numero è la somma dei due precedenti, ma si dimostra, in modo non semplicissimo, che il rapporto fra un numero e quello che lo precede è, quasi, $ (1+ \sqrt(5))/2 $. Puoi provare con la calcolatrice.
No. I numeri di ardesia sono una semplificazione per facilitarti il ragionamento: hanno fra loro un rapporto 2 (non possono essere quelli di Fibonacci).
Ciao
B.
Quanto fa $ 99/10 $ oppure $ 9999/1000 $ oppure$ 99999/10000 $ ....
Nella successione di Fibonacci ogni numero è la somma dei due precedenti, ma si dimostra, in modo non semplicissimo, che il rapporto fra un numero e quello che lo precede è, quasi, $ (1+ \sqrt(5))/2 $. Puoi provare con la calcolatrice.
No. I numeri di ardesia sono una semplificazione per facilitarti il ragionamento: hanno fra loro un rapporto 2 (non possono essere quelli di Fibonacci).
Ciao
B.
Ok grazie mille ora ci ragiono. Ti faccio sapere se ci riesci oppure no.
Ciao. Mi dispiace mi sono scervellato ma niente 
. Qualche indizio in più?
. Qualche indizio in più?
Supponiamo che il primo numero di ardesia coincida con il primo numero dell'intervallo, es. 1000.
il secondo sarà 2000, il terzo 4000, il quarto 8000, il quinto 16000 è un numero di lunghezza diversa.
Dunque ce ne sono 4 con l'ultimo che è il primo moltiplicato per $ 8=2^3 $.
Sarà sempre così? No perché non sappiamo quanto vale il primo numero di ardesia di quell'intervallo.
Se fosse 1500 il secondo sarebbe 3000, il terzo 6000 e già il quarto è troppo grande.
Qual'è il confine fra i due casi? Basta prendere 10 è dividerlo per 8; viene 1.25. Iniziando con numeri più piccoli di 1250 ce ne stanno 4, da 1250 fino a 1999 (2000 non può essere il primo perché se c'è 2000 c'è anche la sua metà 1000) solo 3.
Come si può fare per sapere quanto vale il primo? Qui se abbiamo numeri grandi tipo $ 10^2015 $ servono i logaritmi. Però se trovassimo fra le risposte possibili: "minimo 3, massimo 4"; sarebbe sicuramente giusta.
Adesso la 'traduzione' con i numeri di Fibonacci te la fai da solo, che altrimenti non impari nulla.
Ciao
B.
il secondo sarà 2000, il terzo 4000, il quarto 8000, il quinto 16000 è un numero di lunghezza diversa.
Dunque ce ne sono 4 con l'ultimo che è il primo moltiplicato per $ 8=2^3 $.
Sarà sempre così? No perché non sappiamo quanto vale il primo numero di ardesia di quell'intervallo.
Se fosse 1500 il secondo sarebbe 3000, il terzo 6000 e già il quarto è troppo grande.
Qual'è il confine fra i due casi? Basta prendere 10 è dividerlo per 8; viene 1.25. Iniziando con numeri più piccoli di 1250 ce ne stanno 4, da 1250 fino a 1999 (2000 non può essere il primo perché se c'è 2000 c'è anche la sua metà 1000) solo 3.
Come si può fare per sapere quanto vale il primo? Qui se abbiamo numeri grandi tipo $ 10^2015 $ servono i logaritmi. Però se trovassimo fra le risposte possibili: "minimo 3, massimo 4"; sarebbe sicuramente giusta.
Adesso la 'traduzione' con i numeri di Fibonacci te la fai da solo, che altrimenti non impari nulla.
Ciao
B.
Ok grazie. Quindi correggimi se sbaglio.
Prendiamo per esempio i numeri di fibonacci con 2 cifre. Sono 13,21,34,55,89. Allora io so che l'ultimo è il primo moltiplicato per per 0,84.... Però 0,84... come tu hai detto prima è il rapporto aureo alla quarta. Mentre con i numeri di fibonacci con 4 cifre (1597,2584,4181,6765) il rapporto tra il primo e l'ultimo è il rapporto aureo alla quinta. E quindi possono essere al meno 4 o al massimo 5 in quanto esponenti del rapporto aureo che è il rapporto tra un numero di fibonacci e il suo precedente. Però come facciamo a essere certi che primo o poi all'infinito nn ci sia una serie di numeri con una certa lunghezza che nn siano 4 o 5 ma una altro numero??
Prendiamo per esempio i numeri di fibonacci con 2 cifre. Sono 13,21,34,55,89. Allora io so che l'ultimo è il primo moltiplicato per per 0,84.... Però 0,84... come tu hai detto prima è il rapporto aureo alla quarta. Mentre con i numeri di fibonacci con 4 cifre (1597,2584,4181,6765) il rapporto tra il primo e l'ultimo è il rapporto aureo alla quinta. E quindi possono essere al meno 4 o al massimo 5 in quanto esponenti del rapporto aureo che è il rapporto tra un numero di fibonacci e il suo precedente. Però come facciamo a essere certi che primo o poi all'infinito nn ci sia una serie di numeri con una certa lunghezza che nn siano 4 o 5 ma una altro numero??
La chiave è il rapporto aureo ovvero il fatto che all'aumentare di $n$ il rapporto $F_(n+1)/F_n$ tende ad avvicinarsi sempre più al rapporto aureo; grossolanamente potresti dire che è "fisso" ... da questo ne consegue che i numeri di Fibonacci all'interno di "un ordine di grandezza" (cioè tra $10^k$ e $10^(k+1)$) tenderanno ad essere un numero fisso: $4$ o $5$.
Ragiona su questo fatto ...
Cordialmente, Alex
Ragiona su questo fatto ...
Cordialmente, Alex
Si ma perché 4 o 5? Perché il rapporto fra il primo e l ultimo numero di quell ordine di grandezza e la sezione aurea alla quarta?
È proprio su questo che ti vuol far ragionare orsoulx ... lascia perdere "alla quarta", è solo una moltiplicazione di quattro fattori uguali ... 
...
Prova con un esempio ... tra $10^6$ e $10^7$, ipotizza che ci sia almeno un numero di Fibonacci (a priori non sappiamo se esista ... va provato ... ) e ipotizza pure che sia $10^6$, quale sarebbe il successivo? (senza usare la formula di Fibonacci ovviamente ma ... ) ...
Dai, prova ... lavoraci un po' ... se l'ho capito io cosa voleva dire orsoulx ...
Cordialmente, Alex
... Prova con un esempio ... tra $10^6$ e $10^7$, ipotizza che ci sia almeno un numero di Fibonacci (a priori non sappiamo se esista ... va provato ...
) e ipotizza pure che sia $10^6$, quale sarebbe il successivo? (senza usare la formula di Fibonacci ovviamente ma ... ) ...Dai, prova ... lavoraci un po' ... se l'ho capito io cosa voleva dire orsoulx ...
Cordialmente, Alex
Allora, questa è l'ultima risposta che scrivo. Evidentemente non sono adatto ad insegnarti alcunché. Non sono gli errori che mi preoccupano, sbagliamo tutti e non c'è nulla di male, anche il proverbio recita "chi non fa non sbaglia". Ho sbagliato nel dirti che fra i numeri di quattro cifre ci sono solo 4 numeri di Fibonacci, ricordavo male, ce ne sono 5, per averne solo 4 bisogna considerare quelli di cinque cifre. Bisogna però prestare molta attenzione quando si attribuisce ad altri dei risultati.
Ti pare possibile che 89 diviso 13 faccia meno di 1? Magari 6.84 che è un pochino diverso. Son certo che l'hai fatto involontariamente ed allora proseguiamo.
Quelli che scrivi non sono numeri di Fibonacci. Per averli esatti ti conviene prendere una calcolatrice con almeno una memoria (o un foglio elettronico); calcoli $ (1+\sqrt(5))/2 $, lo metti in memoria e poi per ottenere un numero di Fibonacci lo prendi e lo elevi alla potenza che preferisci, arrotondando il risultato all'intero più vicino.
Comunque quando i numeri sono solo 4 il rapporto fra l'ultimo ed il primo è più piccolo di quello che ottieni quando sono 5, non più grande come dici.
Perché se prendi il solito numero che hai messo in memoria e lo elevi alla quinta, come dice Alex è come moltiplicarlo 5 volte per se stesso, ottieni quel 11.09.... che essendo più di 10 ti garantisce che non succederà mai di trovare 6 numeri di Fibonacci con il medesimo numero di cifre.
Ciao
B.
"ardesiacesellata":
Però 0,84... come tu hai detto prima è il rapporto aureo alla quarta
Ti pare possibile che 89 diviso 13 faccia meno di 1? Magari 6.84 che è un pochino diverso. Son certo che l'hai fatto involontariamente ed allora proseguiamo.
"ardesiacesellata":
Mentre con i numeri di fibonacci con 4 cifre (1597,2584,4181,6765) il rapporto tra il primo e l'ultimo è il rapporto aureo alla quinta.
Quelli che scrivi non sono numeri di Fibonacci. Per averli esatti ti conviene prendere una calcolatrice con almeno una memoria (o un foglio elettronico); calcoli $ (1+\sqrt(5))/2 $, lo metti in memoria e poi per ottenere un numero di Fibonacci lo prendi e lo elevi alla potenza che preferisci, arrotondando il risultato all'intero più vicino.
Comunque quando i numeri sono solo 4 il rapporto fra l'ultimo ed il primo è più piccolo di quello che ottieni quando sono 5, non più grande come dici.
"ardesiacesellata":.
Però come facciamo a essere certi che primo o poi all'infinito nn ci sia una serie di numeri con una certa lunghezza che nn siano 4 o 5 ma una altro numero
Perché se prendi il solito numero che hai messo in memoria e lo elevi alla quinta, come dice Alex è come moltiplicarlo 5 volte per se stesso, ottieni quel 11.09.... che essendo più di 10 ti garantisce che non succederà mai di trovare 6 numeri di Fibonacci con il medesimo numero di cifre.
Ciao
B.
Ok ma quindi come ha detto Alex nell ordine di grandezza dei $10^2015$ nn siamo sicuri che esistano numeri di Fibonacci però sappiamo che se esistono nn ce ne sono più di 5? E ora come dimostriamo che ne esistono?
Semplice, prendi l'esempio che ho fatto: l'ultimo numero di $6$ cifre è $10^6-1$ mentre il primo di $8$ cifre è $10^7$; ne fai il rapporto $10^7/(10^6-1)>10$ ed ottieni che è maggiore di dieci (che vale per qualsiasi numero di cifre); ma il rapporto tra due numeri di Fibonacci vale poco più di $1,6$ perciò devono esserci numeri di Fibonacci in quell'intervallo.
È ciò che ha cercato di dirti orsoulx finora ...
Cordialmente, Alex
È ciò che ha cercato di dirti orsoulx finora ...
Cordialmente, Alex
Ok grazie mille a tutti. Ora ho capito. Scusate se nn lo avevo capito prima ma è abbastanza difficile e elaborato
E se invece vorrei trovare il numero esatto con i logaritmi che aveva accennato orsoulx come procedo?
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