Sequenze

[Piera4]

Si consideri una successione di lanci di una moneta truccata, $P(testa)=p$. Calcolare la probabilità che una sequenza di $h$ teste, cioè $h$ teste consecutive, esca prima di una sequenza di $t$ croci.

[Nidhogg]

Sia $E$ l'evento "h teste consecutive prima di t croci consecutive". Per ottenere $P(E)$, comincio a condizionare rispetto all'esito del primo lancio. Precisamente, indicando con $H$ l'evento "il primo lancio ho testa", ottengo: $P(E)=p*P(E|H)+q*P(E|H^c)$. Indicando con $F$ l'evento "tutti i lanci dal secondo all'n-esimo ho testa", ottengo: (1) $P(E|H)=P(E|FH)*P(F|H)+P(E|F^cH)*P(F^c|H)$. Risulta $P(E|FH)=1$; inoltre se si realizza l'evento $F^cH$, nel primo lancio si è avuto testa, ma nei successivi $h-1$ lanci c'è stata una croce. Ora quando capita un insuccesso, è come se i successi precedenti venissero cancellati e la situazione riparte come dall'inizio. Quindi: $P(E|F^cH)=P(E|H^c)$. L'indipendenza dei lanci implica che $F$ e $H$ sono indipendenti, ed essendo $P(F) = p^(h-1)$, dalla (1) ottengo: (2) $P(E|H)=p^(h-1)+(1-p^(h-1))*P(E|H^c)$. Per ottenere l'espressione di $P(E|H^c)$ procedo allo stesso modo. Indicando con $G$ l'evento "tutti i lanci dal secondo all'h-esimo ho croce", ottengo: (3) $P(E|H^c)=P(E|GH^c)*P(G|H^c)+P(E|G^cH^c)*P(G^c|H^c)$. L'evento $GH^c$ è l'evento "i primi $t$ lanci sono degli insuccessi", quindi $P(E|GH^c)=0$. Inoltre se si realizza $G^cH^c$, nel primo lancio ho croce, ma vi è almeno una testa negli $m-1$ lanci successivi. Dato che questo successo elimina tutti i precedenti insuccessi, si ha che $P(E|G^cH^c)=P(E|H)$. Essendo $P(G^c|H^c)=P(G^c)=1-q^(t-1)$, dalla (3) ottengo (4) $P(E|H^c)=(1-q^(t-1))*P(E|H)$. Risolvendo le equazioni (2) e (4) ottengo $P(E|H)=(p^(h-1))/(p^(h-1)+q^(t-1)-p^(h-1)q^(t-1))$ e $P(E|H^c)=((1-q^(t-1))p^(h-1))/(p^(h-1)+q^(t-1)-p^(h-1)q^(t-1))$. Quindi $P(E)=p*P(E|H)+q*P(E|H^c)=(p^h+q*p^(h-1)*(1-q^(t-1)))/(p^(h-1)+q^(t-1)-p^(h-1)q^(t-1))=(p^(h-1)(1-q^t))/(p^(h-1)+q^(t-1)-p^(h-1)q^(t-1))$


Saluti, Ermanno.

[Piera4]

Perfetto!