Sequenza di numeri

[giannirecanati]

Abbiamo una sequenza di numeri \(\displaystyle a_1,....,a_n \) in cui ciascun numero può essere uguale ad \(\displaystyle 1 \) o \(\displaystyle -1 \). Detta \(\displaystyle S=a_1a_2a_3a_4+a_2a_3a_4a_5+.....a_na_1a_2a_3=0 \).
Dimostrare che \(\displaystyle 4|n \).

[UmbertoM1]

Si nota innanzitutto che gli addendi della sommatoria sono $n$
Poiché ciascuno di essi può essere $+-1$, si può affermare che che $S\in[-n;n]$
Se inoltre $n$ è dispari, è evidente che $S$ non può essere $0$ perché il numero di $+1$ risulterebbe sempre diverso dal numero di $-1$.
Più difficile da trattare è il caso $n$ è pari ma non divide $4$.
In prima istanza notiamo che detta $S_0$ la somma per determinati valori $a_1,a_2...a_n$, variando il segno di un qualsiasi $a_j$, si varia il segno di $4$ differenti addendi:
$a_(j-3)a_(j-2)a_(j-1)a_j$
$a_(j-2)a_(j-1)a_(j)a_(j+1)$
$a_(j-1)a_(j)a_(j+1)a_(j+2)$
$a_(j)a_(j+1)a_(j+2)a_(j+3)$.
Perciò a seguito della variazione si ottiene che la nuova somma di valori può essere uguale a $S_1=S_0-8;S_0-4;...S_0+8$
mentre non può essere uguale a $S_0+2$.
Questo è estremamente importante ai fini della dimostrazione, poiché $S_(max)=n$. Variando opportunamente gli $a_j$ è possibile ottenere solo valori del tipo $S=S_(max)-4k=n-4k$
quindi deve essere $n-4k=0$ che è possibile solo se $4|n$

[xXStephXx]

Può darsi che è la stessa, non l'ho letta tutta xD

Ci sono $n$ addendi, ognuno di essi vale \(\displaystyle \pm 1\). Affinchè la somma valga $0$ quelli uguali a -1 devono essere tanti quanti quelli uguali a 1. Quindi $n$ è pari. Considerando i singoli fattori che compaiono negli addendi abbiamo che negli addendi che valgono 1, i fattori uguali a -1 devono essere pari, mentre negli altri devono essere dispari. Se $n$ non fosse multiplo di 4 avremmo in totale un numero dispari di fattori uguali a -1. Ma ciò è impossibile perchè ogni volta che un $a_i$ è uguale a -1, esso compare 4 volte quindi il totale di fattori uguali a -1 non può essere dispari.