Semplice ma carino

[Bruno13]

[size=117]Un intero positivo n è somma di due triangolari
se e solo se è somma di un quadrato e del doppio
di un triangolare.[/size]

Approfitto di due minuti liberi per
proporvi questo semplice teorema
che ho trovato in rete.
Lo riporta Alcide Serra in un suo
articolo sui numeri figurati.

Un quiz che farà sorridere gli esperti,
probabilmente (però, chissà...), ma
che potrebbe esser gustoso per altri

Ho appena visto che anche nella
sezione "Numeri per tutti" di
matematicamente.it è stato
pubblicato un contributo di Serra
(che prima non conoscevo).

[Auron2]

Non c'è da specificare però che i due numeri triangolari non devono essere successivi ?

[Bruno13]

Il teorema non precisa nessuna caratteristica
sui numeri triangolari. Quindi, se è vero, deve
comprendere pure i rimanenti casi

[Auron2]

Scusa ma se prendo due numeri triangolari successivi vale l'equazione:

$n^2=(n(n-1))/2 + (n(n+1))/2$

E quindi il numero cercato $n$ non può essere la somma di un quadrato e del doppio di un triangolare, perchè è un quadrato perfetto.

[Aethelmyth]

"Auron":Scusa ma se prendo due numeri triangolari successivi vale l'equazione:

$n^2=(n(n-1))/2 + (n(n+1))/2$

E quindi il numero cercato $n$ non può essere la somma di un quadrato e del doppio di un triangolare, perchè è un quadrato perfetto.

Uhm no, il fatto che sia un quadrato perfetto può porre limitazioni sulla sua fattorizzazione, non su un qualsiasi tipo di somme. Nei buchi di tempo libero ci sto pensando, spero di rispondere al più presto

[Bruno13]

Perché no, Auron?
Ampliando un pochino il concetto: n²+0·1 ...

"Aethelmyth": Nei buchi di tempo libero ci sto pensando, spero di rispondere al più presto

Ciao, Aethelmyth! Allora ci conto...

[TomSawyer1]

"Bruno":Ampliando un pochino il concetto: n²+0·1 ...

Cosa sarebbe questo, la somma tra un quadrato e il doppio di un numero triangolare?

Comunque, fammi capire: 3+6, per esempio, non è la somma tra un quadrato e il doppio di un numero triangolare.

[fields1]

"Crook":[quote="Bruno"]Ampliando un pochino il concetto: n²+0·1 ...

Cosa sarebbe questo, la somma tra un quadrato e il doppio di un numero triangolare?

Comunque, fammi capire: 3+6, per esempio, non è la somma tra un quadrato e il doppio di un numero triangolare.[/quote]

Be, $(0*1)/2=0$ è un numero triangolare, dunque Bruno voleva semplicemente mostrare che ogni quadrato perfetto e' banalmente somma di un quadrato e il doppio di un triangolare: $n^2=n^2+0*1$. In particolare $6+3=9=3^2+0*1$, e il teorema riportato da Bruno e' confermato.

[TomSawyer1]

Ah, $0$, nei libri che ho letto io, non viene riportato come numero triangolare, ma si parte da $1$. Ok, allora.

[Bruno13]

Sì, è vero, Crook, generalmente lo zero
non viene incluso. E tuttavia, proprio riguardo
alle tue perplessità, ho trovato davvero
interessante un articolo sui numeri poligonali
di Umberto Cerruti (sempre molto istruttivo,
quindi prezioso), in cui si può osservare
questa tabella.


(Ciao, Fields )

[TomSawyer1]

Questa fonte piu' che attendibile dice che il primo e' $1$
http://mathworld.wolfram.com/TriangularNumber.html

Quindi, immagino fosse da specificare questo fatto di convenienza.
Comunque, problema carino, ciao.

[Bruno13]

Ma certo, Crook: come ho detto,
lo zero non viene generalmente
incluso e Mathworld va in questa
direzione. Come molti altri testi
che anch'io ho letto.

Sicuramente non sono in grado
di stabilire una graduatoria di
attendibilità. Penso, però, che sia
sempre importante non discutere
per partito preso ed è con questo
spirito che ho proposto il link al
professor Cerruti, ritenendolo (lo
dico senza timore di essere smentito)
spesso istruttivo e illuminante.

La prova che ho trovato io del
teorema di Serra, d'altra parte,
includendo con naturalezza lo zero,
non mi ha fatto riconoscere subito
la necessità del chiarimento visto
sopra.
Con la curiosità e la voglia di capire,
tuttavia, le cose si chiariscono
sempre, alla fine

[TomSawyer1]

Il mio tono non era polemico, tutt'altro. Pero' e' sempre meglio precisare bene, come ben sai; certo, la prova non ti avra' fatto capire subito la necessita' del chiarimento, ma uno che prova a verificarlo per 3+6, si ritrova spiazzato. Ciao .

[TomSawyer1]

Vabbe', posto la mia semplice soluzione:
L'implicazione verso destra: avendo la somma di due numeri triangolari $(x(x+1))/2+((x+k)(x+k+1))/2$ (1), ci sono due casi:
(i) se $k$ pari, allora scriviamo la (1) cosi' $(k/2)^2+(x+k/2)(x+k/2+1)$, e abbiamo chiaramente la somma tra un quadrato e il doppio di un triangolare;
(ii) se $k$ dispari, allora scriviamo la (1) cosi' $(x+(k+1)/2)^2+(k-1)/2(k+1)/2$, ed anche in questo caso siamo a posto.

Ora l'implicazione verso sinistra: data la somma di un quadrato perfetto e il doppio di un triangolare, $n^2+m(m+1)$, ci sono anche qui due casi:
(i) se $n^2>m(m+1)$, allora basta porre $m=(k-1)/2$ e $n=x+m+1=x+(k+1)/2$ e sviluppando come sopra, siamo a posto;
(ii) se $n^2

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[Sk_Anonymous]

Io avevo trovato due identita' ma crook mi ha bruciato.
Comunque ,a titolo di curiosita', le riporto:
1)per m ed n con la stessa parita' (ed $n>=m$):
$(m(m+1))/2+(n(n+1))/2=((m+n)/2)((m+n)/2+1) +((n-m)/2)^2$
2) per m ed n con parita' diversa ( ed $n>=m+1$):
$(m(m+1))/2+(n(n+1))/2=[(n-(m+1))/2]*[(n-(m+1))/2+1]+((m+n+1)/2)^2$
karl

[Bruno13]

Ottimo, Crook
Ottimo anche a Karl, che saluto

"Crook":Il mio tono non era polemico, tutt'altro.

Hai fatto benissimo a spiegarti, Crook,
perché in realtà ho avuto qualche
nanodubbio.
Grazie

La mia strada coincide con quella di
Karl, avendo sintetizzato il tutto in due
identità, e ci sono arrivato attraverso
un'altra identità che a me piace molto,
questa:

4[½m(m+1)+½n(n+1)]+1 = (m+n+1)²+(m-n)²,

con la quale, peraltro, si può rispondere
agevolmente anche a questo problema.

Ciao a tutti!