Semicerchi

[Drazen77]

$\bar{AB}$ e $\bar{CD}$ sono parallele
$\bar{CD}=4$ (tangente in $K$)

Quanto misura l'area della parte ombreggiata?
(come sempre è gradito il procedimento)

[axpgn]

L'area ombreggiata vale $2pi$.

Spostiamo il semicerchio bianco in modo che sia concentrico al semicerchio più grande (l'area più scura rimane inalterata in quanto differenza delle stesse aree).
In tal modo la corda $\bar(CD)$ è tagliata a metà dal diametro del cerchio maggiore, perpendicolare ad essa, e quindi (secondo Euclide) il prodotto delle due metà della corda è pari al prodotto delle due parti in cui è diviso il diametro (l'altra corda).
Perciò avremo $2*2=4$ da un lato e ponendo $R=r+d$ (dove $r$ e $R$ sono i due raggi) avremo $d*(2r+d)$ dall'altra cioè $d*(2r+d)=4$
La differenza tra le aree dei cerchi è $D=piR^2-pir^2$ quindi l'area ombreggiata vale $A=D/2$ ovvero $D=pi(r+d)^2-pir^2=pi(r^2+d^2+2rd)-pir^2=pi(d^2+2rd)=4pi$ perciò $A=2pi$

Cordialmente, Alex

[Drazen77]