Se n è dispari..
se n è un numero dispari allora divide $2^(n!)-1$
Risposte
"GuillaumedeL'Hopital":
se n è un numero dispari allora divide $2^(n!)-1$
Sia $a$ coprimo con $n$ allora $a^{phi(n)} -= 1 mod n$ dove $phi$ è la funzione totiente, abbiamo $phi(n)<=n$ da cui la tesi.
Ciao Ciao
Per induzione su $n$.
Il caso $n=1$ è banalmente vero.
Si supponga la relazione valida per $2^((n-1)!)-1$; allora esisterà un $AinNN$ tale che:
$2^((n-1)!)-1=An-A$
Dobbiamo verificare ora che $n+1|2^((n+1)!)-1$
$2^((n+1)!)-1=2^((n-1)!n(n+1))-1=(2^((n-1)!))^(n^2+n)-1=(A(n-1)+1)^(n^2+n)-1=sum_(k=0)^(n^2+n)((n(n+1)),(k))(A(n-1))^k-1$
ogni termine del polinomio è divisibile per $n+1$ e da qui segue la tesi.
Il caso $n=1$ è banalmente vero.
Si supponga la relazione valida per $2^((n-1)!)-1$; allora esisterà un $AinNN$ tale che:
$2^((n-1)!)-1=An-A$
Dobbiamo verificare ora che $n+1|2^((n+1)!)-1$
$2^((n+1)!)-1=2^((n-1)!n(n+1))-1=(2^((n-1)!))^(n^2+n)-1=(A(n-1)+1)^(n^2+n)-1=sum_(k=0)^(n^2+n)((n(n+1)),(k))(A(n-1))^k-1$
ogni termine del polinomio è divisibile per $n+1$ e da qui segue la tesi.
"giuseppe87x":
$sum_(k=0)^(n^2+n)((n(n+1)),(k))(An)^k-1$
ogni termine del polinomio è divisibile per $n+1$ e da qui segue la tesi.
sicuro ogni termine del polinomio? mi sembra che c'è un -1 fuori dalla sommatoria, con il teorema di eulero si dimostra molto facilmente come ha fatto carlo243, chissà se c'è anche un altro modo però...
$1$ se ne va con il termine della sommatoria che ha $k=0$
Ciao.
Ciao.
"giuseppe87x":
$(A(n-1)+1)^(n^2+n)-1=sum_(k=0)^(n^2+n)((n(n+1)),(k))(An)^k-1$
c'era qlcs che nn mi tornava...l'uguaglianza è falsa! casomai $(An-A+1)^(n^2+n)-1=sum_(k=0)^(n^2+n)((n(n+1)),(k))(An)^k(A-1)^(n^2+n-k)-1$
ciao
Ecco...ho corretto...avevo scritto $An$ al posto di $A(n-1)$
adesso va bene
"giuseppe87x":
$sum_(k=0)^(n^2+n)((n(n+1)),(k))(A(n-1))^k-1$
no, ancora nn torna prendi l'ultimo termine del polinomio quando $k=(n^2+n)$ fa $[A(n-1)]^(n(n+1))$ e questo per dire che è divisibile per n+1 come fai?
non lo so 
A questo non ci avevo fatto caso.
Comunque esistono altre dimostrazioni oltre quella di Carlo?
A questo non ci avevo fatto caso.
Comunque esistono altre dimostrazioni oltre quella di Carlo?
nn lo so se esistono io sapevo quella come carlo, cmq se qualcuno ha una dimostrazione alternativa sarebbe interessante vederla, ciao
scusate non ho capito cosa vuol dire se n è dispari allora divide z.... sarebbe n/z=?
"Wayout":
scusate non ho capito cosa vuol dire se n è dispari allora divide z.... sarebbe n/z=?
Per "divide" in teoria dei numeri si intende divide esattamente, ovvero se $a$ divide $b$ allora esiste $k in ZZ$ tale che $b=ak$.
Ciao Ciao
e aggiungerei che il k in questione è sempre dispari poichè sia a che b (cioè 2^n-1 e n) sono dispari sempre
"Wayout":
e aggiungerei che il k in questione è sempre dispari poichè sia a che b (cioè 2^n-1 e n) sono dispari sempre
Ok
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