Scomposizione

[hos-juzamdjinn]

Ho trovato il seguente problema sul Larson e nn mi riesce a risolverlo, qualcuno mi pò dare una mano?
Il Problema è il seguente :

Provare che esistono infiniti valori di a per cui il numero $n^4+a$ non è primo per ogni numero naturale n.

Grazie

[Thomas16]

Hint da selezionare... se serve bene, altrimenti cercate un'altra via ...

scomposizione di Sophie-Germain, credo:

n^4+4=n^4+4+4n^2-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2=(n^2+2-2n)(n^2+2+2n)

e ora tenta di generalizzare

[Aethelmyth]

Forse intendo male il problema ma a me non sembra difficile
Mettendola sul banale, per $a=kn$ con k intero positivo, è evidente che $n^4+a$ risulta un multiplo di n e quindi non primo ... Sa c'è qlkosa che non ho considerato fatemelo notare

[hos-juzamdjinn]

No ma a è costante
Tipo $n^4+64=(n^2-4n+8)(n^2+4n+8)$ ma ne esistono infiniti oltre al 64.
Cmq ho sbirciato la soluzione da solo nn c'è l'ho fatta, poi mi è preso il palletico e ho guardato !!
Cmq grazie dell'aiuto!!

[ArkhamG]

ma è l'identità di Sophie Germaine
$a^4+4b^4=(a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab)$.

In ogni caso, si tratta comunque di trovare almeno 2 fattori, cioè fattorizzare, e con le potenze pari la fattorizzazione avviene agevolmente dalla differenza fra quadrati o da un quadrato