Scale mobili

[axpgn]

Mentre scendevo lungo una scala mobile ho notato che impiegavo $30$ secondi per andare da cima a fondo se, camminando nello stesso senso di marcia della scala, riuscivo a percorrere $26$ scalini; se invece ne percorrevo $34$ allora il tempo si riduceva a $18$ secondi.
Qual era l'altezza (in gradini) della scala?

Cordialmente, Alex

[mark971]

Provo a rispondere io
Visto che uomo e scala vanno nello stesso verso la velocità si somma, quindi abbiamo che:
${g_{ra}} / {v_{scala} + v_{uomo}} = T$
La scala si muove sempre alla stessa velocità quindi impostando un sistema possiamo affermare che:
$g_{ra} = {v_{u1} + v_{u2}}/{T_2-T_1}$

Quindi i gradini sono ${26/30 - 34/18}/{18-30} = 23/270$

Il risultato mi sembra un po'strano, può darsi abbia sbagliato

[nino_12]

Il numero $x$ di gradini di trascinamento della scala mobile è $(T1)/(T2) = 30/18$ nel primo caso rispetto al secondo.

Quindi $26 + 30/(18)x = 34 + x$

$x = 12 $ e il numero totale di gradini della scala è $46$

[Black Magic]

La differenza tra il primo e il secondo caso è di 8 gradini che a velocità di scala vengono percorsi in 12 secondi. Ciò significa che la scala mobile ha una velocità di $\frac{2}{3} (grd)/sec$.
Quindi:
Numero gradini scala =$ 26+\frac{2}{3}*30 = 26+20 = 46$ gradini.

[axpgn]

@mark97
Direi di no ...

@nino e @BlackMagic
Va bene!


Tra i tanti, un altro modo è questo

Nel tempo $t_1$ in cui scendo lungo la scala, "spariscono" sotto il pavimento $g_1$ gradini; dato che la velocità della scala è costante avremo $g_1/t_1=g_2/t_2$. Ma gli scalini che "scompaiono" sono la differenza tra tutti quella della scala $G$ e quelli $p$ percorsi da me; perciò $(G-p_1)/t_1=(G-p_2)/t_2$ da cui $G=(p_1t_2-p_2t_1)/(t_2-t_1)$; nel nostro caso $G=(26*18-34*30)/(18-30)=46$

Cordialmente, Alex

[marco9551]

Chiamiamo $x$ il numero di gradini della scala, $v1$ la velocità con cui si muove la scala e $v2$ la velocità con cui si muove la persona su di esso. Quando la persona sale 26 gradini, sale in realtà $26+v1(26/(v2))$ gradini a causa del movimento della scala, e ad essi vanno sommati i rrestanti che scriveremo nel seguente modo $v1(30- 26/(v2))$. La somma ci darà x. Stesso ragionamento quando sale 34 gradini. Algebricamente va risolto il seguente sistema

$ { ( v1(26/(v2))+26+v1(30-(26/(v2)))=x ),( v1(34/(v2))+34+v1(18-(34/(v2)))=x ):} $

La variabile v2 si cancella da entrambe le equazioni, e alla fine rimane un sistema in due incognite $v1$ e $x$
Il risultato cercato è 46.

[axpgn]

Ok!