Scacchi e scacchiere

[giambax]

Nel gioco degli scacchi, in ogni casella vi è al
massimo un pezzo. Alla fine di una partita la
disposizione dei pezzi rimasti è tale che vi sono
esattamente quattro pezzi in ogni quadrato 3 x 3
della scacchiera 8 x 8. In totale, quanti pezzi
sono rimasti, al minimo?

[orsoulx]

22

Ciao

[giambax]

Si, qual è il procedimento?

[axpgn]

[giambax]

Ma come hai fatto ad arrivare a quella configurazione?

[orsoulx]

Non mi pare che la configurazione proposta da axpgn sia una soluzione del problema. Per il procedimento vedi sotto.

Nella scacchiera 8x8 i quadrati 3x3 sono in tutto 36: 4 negli angoli, 16 che hanno un lato sul bordo della scacchiera e 16 che non toccano il bordo.
I primi 4 non hanno caselle in comune fra loro ed allora, dovendo contenere 4 pezzi ciascuno, necessitano di 16 pezzi.
Fra questi quattro quadrati restano vuoti, a contatto col bordo della scacchiera, 4 rettangoli 2x3. Un quadrato che contenga uno di questi interseca uno d'angolo in tre caselle allineate, Se queste sono occupate basta un ulteriore pezzo per arrivare a 4. Però i quadrati d'angolo, contengono solo 4 pezzi e se 3 di questi sono su un bordo verso l'interno, sull'altro bordo ce ne possono essere al massimo 2, con la conseguente necessità di 2 pezzi nel rettangolo 2x3 adiacente.
Disponendo le colonne da 3 pezzi dei quadrati d'angolo affacciate fra loro serviranno allora almeno $ 2x1+2x2=6 $ pezzi nei rettangoli in questione: per un totale di almeno $ 16+6=22 $ pezzi.
Considerando il quadrato 2x2 centrale si vede poi che, per non aggiungere ulteriori pezzi e garantire comunque il rispetto della regola per i 4 quadrati 3x3 che lo contengono, è necessario che i 6 pezzi in questione distino tutti due caselle dal più vicino bordo della scacchiera.
Resta ancora una piccolissima possibilità di scelta nella disposizione di alcuni pezzi ed è facile ottenere una soluzione (ce ne sono esattamente due a meno di simmetrie), diversa da quella proposta da Alex, che risolve il problema.

Ciao

[axpgn]

Mi era sfuggito "esattamente" ... sorry ... (che poi, se non ci fosse "esattamente" il problema non avrebbe senso ... vabbè, lasciamo perdere ... )

[veciorik]

[asvg]width=300;height=300;xmin=0.065;xmax=0.735;ymin=0.065;ymax=0.735;noaxes();grid(0.1,0.1);
strokewidth=5;var r=(0.02);
var x=(0.25);var y=(0.05);
circle([x,y],r);circle([x,y+0.1],r);circle([x,y+0.3],r);circle([x,y+0.4],r);circle([x,y+0.6],r);circle([x,y+0.7],r);
var x=(0.25);var y=(0.05);
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var x=(0.55);var y=(0.05);
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Questo schema simmetrico di 24 pezzi soddisfa tutti i requisiti tranne quello sul minimo di pedine.
Spostando di una cella una fila di 6 pezzi in modo che un pezzo fuoriesca dalla scacchiera si ottiene uno schema di 23 pezzi che soddisfa i requisiti.
Spostando similmente anche la fila parallela si ottiene uno schema di 22 pezzi che soddisfa tutti i requisiti.
A meno di simmetrie gli schemi da 22 pezzi sono due, corrispondenti alle combinazioni dei versi degli spostamenti, concordi o discordi.

[orsoulx]

Bella l'idea di Rik di tassellare il piano con piastrelle 3x3.

Ciao

[veciorik]

Lo schema che ho già mostrato è uno dei due schemi con la massima simmetria (rotazioni e riflessioni), che pavimentano il piano con piastrelle 3x3 uguali.
Esistono altri schemi asimmetrici, compreso uno dei due già descritti come generatori del minimo richiesto.
Propongo un modo semplice per contare i pezzi minimi ospitati dalla scacchiera 8x8 ricoperta con gli schemi suddetti.

Una scacchiera 9x9 ospita sempre 9x4=36 pezzi perché composta da 9 piastrelle.
Da essa ricavo una scacchiera 8x8 scartando due bordi, una riga e una colonna.
Negli schemi simmetrici ciascuno dei bordi contiene max 6 pezzi: 2 per ognuna delle 3 piastrelle. Restano 36-12=24 pezzi.
Negli schemi asimmetrici sottraggo max 14 pezzi: tutti i 9 pezzi di un bordo e 5 dei 6 pezzi dell'altro bordo, perché quello di spigolo è già contato nel primo bordo. Restano 36-14=22 pezzi.