Rotaia Sinusoidale

[WonderP1]

Sia data una rotaia a forma di sinusoide di equazione y = sen x, libera di ruotare attorno all’origine degli assi (0;0) e la forza di gravità sia diretta verso –y. Si posizioni una sferetta nella terza valle, questa rimane ferma poiché si trova in un minimo di energia potenziale, e la si blocchi in questa posizione, quanto deve valere l’angolo ß affinché sbloccata la sferetta questa percorra tutto il resto della sinusoide? Non si considerino gli attriti, la sferetta è vincolata alla rotaia (non c’è mai distacco tra questi due elementi).



WonderP.

[goblyn]

La pallina avrà sufficiente energia per rotolare via nella condizione rappresentata qui sotto:



La pallina è l'asterisco rosso. La sua quota dev'essere almeno pari a quella del massimo locale precedente (che non coincide col massimo del seno con la rotaia orizzontale).
Dai miei conti risulta che l'angolo dev'essere almeno

35.93° circa





Modificato da - goblyn il 03/11/2003 11:52:31

Modificato da - goblyn il 03/11/2003 11:53:44

[WonderP1]

Corretto! Spiego il ragionamento che ho seguito. Ho cercato il valore della tangente alla sinusoide passante per una valle (la riga verde del grafico di goblyn). Pensando alla sferetta nella prima valle (non cambia nulla) ho impostato l’equazione
(y – yS)/(x - xS) = f’(x)
con yS e xS i valori di ascissa e ordinata della sferetta (3/2*Pi;-1).
(sen x – (-1))/(x – 3/2*Pi) = cos x
risulta x = 2,38 rard
cos x = -0,725 a noi serve il modulo
quindi la pendenza è 0,725
arctan (0,725) = 0,627rad
in gradi 35,93° circa.

Hai seguito lo stesso ragionamento?
WonderP.




Modificato da - WonderP il 03/11/2003 14:39:45

[goblyn]

Io ho fatto una cosa un po' più complicata...

Ho scritto il vettore posizione della curva considerata non inclinata:

x=t
y=sin(t)

Poi l'ho inclinata di un angolo incognito q:

x=t*cos(q)-sin(t)sin(q)
y=t*sin(q)+sin(t)cos(q)

Ho trovato quindi il vettore tangente:

x'=cos(q)-cos(t)sin(q)
y'=sin(q)+cos(t)cos(q)

Ho quindi imposto che tale vettore tangente fosse orizzontale (linea verde nel grafico), cioè ho imposto y'=0:

cos(t)=-tg(q)

Ho ottenuto così, al variare di q, i punti a tangente orizzontale della sinusoide inclinata.
Ora basta imporre che l'ordinata del punto occupato dalla pallina sia uguale a quella del punto più vicino a tangente orizzontale. Ometto i conti...