Ripetizioni consecutive in sistema binario

[Aphonis]

Prendete ad esempio un sistema di probabilità 50/50, come il lancio di una moneta. Supponete di puntare su testa 1 unità a quota equa (se vinci raddoppi). Se vincete, ripuntate uno la prossima volta, se perdete puntate il doppio la successiva, in modo che, in caso di scommessa vincente, possiate recuperare i soldi persi e comunque andare in positivo: la "tecnica roulette" insomma. Ora supponete invece di scommettere ogni volta il doppio della precedente, più un'unità, in modo da vincere, in pratica, anche con una puntata sbagliata nel lungo periodo (se perdo, punto 3, così con spesa 4 totale vinco 6, e se perdo punto 7, così con spesa totale 11 vinco 14). Ora supponete di avere un budget limitato a N serie (11 con N=3, dato che 1+3+7, 26 con N=4 e così via), quindi la serie non è infinita. Qual'è la probabilità che in una serie al raddoppio (lunga 11 con N=3, lunga 26 con N=4, lunga 57 puntate con N=5) non escano N numeri consecutivi "sbagliati"?

Spero di essermi spiegato bene. Sono bloccato da 2 giorni perché non ne capisco niente

[orsoulx]

"Aphonis":Spero di essermi spiegato bene. Sono bloccato da 2 giorni perché...

Mi pare che la spiegazione sia un po' confusa e questo potrebbe essere la causa del blocco.
Se $ n $ è il numero di giocate che vuoi poter fare, nel caso di esito negativo per ognuna di esse, il tuo budget $ b $ deve essere $ b=2^(n+1)-n-2 $. La lunghezza della 'serie al raddoppio' non diventa, per questo $ b $: continua ad essere $ n $ e la probabilità che non si verifichino $ n $ eventi sfavorevoli è $ 1-(1/2)^n $.
Ciao
B.
PS Se stai cercando la maniera di far soldi con le scommesse, dal punto di vista matematico puoi giocarci fin che vuoi, ma il risultato non cambierà: nella ipotesi del gioco equo, e difficilmente troverai qualche allibratore disposto a proportene uno, la vincita attesa è zero, per definizione.

[Aphonis]

"orsoulx":
Se $ n $ è il numero di giocate che vuoi poter fare, nel caso di esito negativo per ognuna di esse, il tuo budget $ b $ deve essere $ b=2^(n+1)-n-2 $. La lunghezza della 'serie al raddoppio' non diventa, per questo $ b $: continua ad essere $ n $ e la probabilità che non si verifichino $ n $ eventi sfavorevoli è $ 1-(1/2)^n $.

Non proprio. Posto $ b $ come budget, la lunghezza della serie diventa proprio $ b $ perché è $ b $ che vuole essere raddoppiato. Data quindi la lunghezza $ b $ vorrei capire come considerare i casi in cui, prima di $ b $ eventi, ce ne siano $ n $ consecutivi sfavorevoli.

Supponiamo di mettere per inscritto la sequenza di giocate di lunghezza $ b $ in binario, indicando con $ 1 $ esito favorevole e con $ 0 $ esito sfavorevole, per esempio, con $ n=3 $ :

$ 00110110110 $

Qui ci sono $ 2^b $ possibili combinazioni. Ma se per esempio già le prime $ 3 $ giocate risultano perdenti, e quindi il sistema va già chiuso, come considero le restanti $ 8 $ ? Le loro possibili combinazioni vanno considerate per il calcolo della probabilità di riuscita del sistema?

"orsoulx":PS Se stai cercando la maniera di far soldi con le scommesse, dal punto di vista matematico puoi giocarci fin che vuoi, ma il risultato non cambierà: nella ipotesi del gioco equo, e difficilmente troverai qualche allibratore disposto a proportene uno, la vincita attesa è zero, per definizione.

Nono nessuna ricerca mi hanno posto questo problema e mi sono incartato da vecchio matematico che ero (ora studio filosofia, fai te). Volevo solo capire qual'è il giusto ragionamento per la soluzione del quesito

[orsoulx]

"Aphonis":Posto b come budget, la lunghezza della serie diventa proprio b perché è b che vuole essere raddoppiato

L'obiettivo è raddoppiare il budget? Il gioco termina quando hai almeno il doppio del capitale iniziale , oppure quando lo hai esaurito , e ti hanno chiesto di determinare le probabilità di questi due eventi?

Ciao
B.

[Aphonis]

"orsoulx":[quote="Aphonis"]Posto b come budget, la lunghezza della serie diventa proprio b perché è b che vuole essere raddoppiato

L'obiettivo è raddoppiare il budget? Il gioco termina quando hai almeno il doppio del capitale iniziale , oppure quando lo hai esaurito , e ti hanno chiesto di determinare le probabilità di questi due eventi?

Ciao
B.[/quote]

Si, in parole povere è così

[orsoulx]

Devi scusarmi, ma per analizzare un gioco è indispensabile conoscere: le regole con cui evolve, la situazione iniziale e le modalità con cui termina.
Adesso conosco come inizia e quando termina. Se non ci fosse 'almeno' nella condizione di uscita la risposta sarebbe banale: 50% di vincere e 50% di perdere.
Purtroppo, invece, c'è, mi pare sia ben difficile eliminarlo, ed allora tutto si complica. Per arrivare al risultato corretto occorre ancora stabilire come ci si comporta quando, durante il gioco, ci si ritrova con un capitale che impedisce l'uso della strategia che hai descritto. Esempio nel caso di $ n=3 $: guadagno 5 poste e poi incappo in una sequenza negativa, la parte iniziale potrebbe essere 11011000. A questo punto con sole 5 poste come mi comporto?
Ho provato ad affrontare il gioco nel caso $ n=2 $ usando la regola arbitraria " finché ho meno del budget iniziale punto sempre 1". Il risultato che trovo è il seguente: probabilità di perdere 51.40%, probabilità di raddoppiare il budget 37.38%, probabilità di terminare con un'ulteriore 'unità' in più (9 in tutto) 11.22%.
Il metodo che ho usato è stata la riduzione ad una catena di Markov.
Ciao
B.